algebraische/geometrische VFH < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ich habe mal eine ganz wichtige Frage zur algebraische/geometrische VFH.
algebraische VFH ist ja die Häufigkeit des auftauchens eines Eigenwertes.
geometrsice VFH ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren.
Wenn ich jetzt aus einer [mm] \IR^4^,^4 [/mm] Matrix das polynom [mm] x^4-10x^3+32x^2-32x [/mm] erhalte, so sind die Eigenwerte 0,2,4,4
Eigenvektor zu 0 ist [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Eigenvektor zu 2 ist [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Eigenvektor zu 4 ist [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Eigenvektor zu 4 ist [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Wenn ich nun die Eigenvektor von 0 nach Gauß auflöse, so erhalte ich alg. VFH= geom. VFH also 1=1
Wenn ich nun die Eigenvektor von 2 nach Gauß auflöse, so erhalte ich alg. VFH= geom. VFH also 1=1
Wenn ich nun die beiden Eigenvektoren von 4 nach gauß auflöse, dann würde ich das folgendermaßen machen:
[mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 \\ 0 & 1} [/mm] daraus folgt [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0}
[/mm]
Also habe ich 2 linear unabhängige Vektoren. Daraus folgt wiederum, dass alg. VFH= geom. VFH also 2=2 ist.
Wäre das so richtig Formuliert???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Di 19.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
also, du weist, dass die geometrische Vielfachheit kleiner gleich der algebraischen Vielfachheit ist. Ist die algeb. Vielfachheit 1, so weist du sicher, dass die geom. Vielfachheit auch 1 ist.
Da du aber bei der 4 die algeb. Vielfachheit von 2 hast, musst du schon "glück" haben, dass die geom. Vielfachheit auch 2 ist, denn sonst kannst du nicht diagonalisieren.
Du suchst dir ja dann bei der Bestimmung des Kerns genau eine Basis des Kerns aus, also die beidne Vektoren, deshlab musst du gar nicht mehr prüfen, ob diese lin. unabhängig sind, denn so wählst du die beiden Vektoren ja aus. Da die Dimension des Eigenraums zum EW 4 gleich 2 ist, kannst du dann, wie du richtig sagtest, sagen, dass die geom. Vielfachheit gleich algebra. Vielfachheit ist. Daher kannst du diese Matrix Diagonalisieren.
LG
Kroni
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Ja genau um diagonalisierbarkeit ging es. Aber so wie ich es gemacht habe, wäre es schon okay oder dann doch lieber den anderen weg???
Hast schon recht brauch mir die Mühe eigentlich garnicht mehr machen nach linearer unabhängigkeit zu gucken. Aber wäre es trotzdem ne Möglichkeit??? Und wäre es so wie ich das gemacht habe in Ordnung???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Di 19.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
so ist es völlig okay. So hätte ich es auch gemacht. Wie geasagt, nur bis auf den letzten Schritt, weil dort berechnest du ja gerade eine Basis des Eigenraumes, und da siehst du, dass der Eigenraum 2-Dimensional ist. Deshalb brauchst du dann nicht mehr zu zeigen, dass die beiden Basisvektoren lin. unabhängig sind, denn das weist du ja bereits.
Wenn du jetzt aber die vier Vektoren in eine Matrix S reinsteckst, dann weist du, das [mm] S^{-1}AS [/mm] diagonal ist.
LG
Kroni
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Ja das stimmt. Aber vor der ganzen rechnerei ist ja sinnvoll erstmal aus ein paar Eigenschaften zu sagen ob diag'bar oder nicht. spart zumindest in Klausuren ne Menge Zeit...
Ich danke dir vielmals für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Di 19.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi
da hast du völlig recht. Unter der Annahme, dass die Summer der geom. Vielfachheiten kleiner wäre als die algeb. Vielfachheiten könntest du dann cshon mit der Diagonalisierung aufhören....
Aber selbst wenn nur nach der invertierbaren Matrix S gefragt wäre könntes tdu die ja angeben und die diagonalMatrix D anzugeben ist ja auch kein Problem, weil du ja schon weist, dass die Eigenwerte auf der Diagonalen stehen.
LG
Kroni
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