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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Sa 13.06.2009 | | Autor: | bobby |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:
Sei [mm] \IF_{p} [/mm] Körper der Ordnung p, [mm] \overline{\IF_{p}} [/mm] ein algebraischer Abschluss, p Primzahl.
Zu Zeigen: [mm] \overline{\IF_{p}} [/mm] = [mm] \bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}}
[/mm]
Die eine Richtung ist mir klar.
Ich habe Probleme damit diese Richtung [mm] "\subseteq" [/mm] zu verstehen, habe zwar einen knappen Beweis dazu, aber es wäre schön, wenn ihr mir dass ein bissl erklären könntet (ich habe Fragen mit dran geschrieben)...
Der Beweis der Richtung ist so:
[mm] \bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}} [/mm] ist ein Körper (warum?) :
a [mm] \in \IF_{p^{n}} [/mm] , b [mm] \in \IF_{p^{m}} \Rightarrow [/mm] a, b [mm] \in \IF_{p^{n*m}} [/mm] (wobei [mm] \IF_{p^{m}} \subseteq \IF_{p^{n}} [/mm] ist falls m Teiler von n) [mm] \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in \IF_{p^{n*m}} [/mm] (woher kommen diese Schlussfolgerungen und warum jetzt [mm] \IF_{p^{n*m}} [/mm] ?)
[mm] \bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}}:\IF_{p} [/mm] ist eine algebraische Erweiterung, da jedes a [mm] \in \IF_{p^{n}} [/mm] algebraisch über [mm] \IF_{p} [/mm] ist. (Kann man das wirklich schon daraus folgern??)
[mm] \bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}} [/mm] ist algebraisch abgeschlossen:
Sei f(x) [mm] \in \bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}}[x], [/mm] und o.b.d.a. f(x) [mm] \in \IF_{p^{n}}[x].
[/mm]
Der Zerfällungskörper von [mm] f(x)\in \IF_{p^{n}}[x] [/mm] ist ein endlicher Körper der Form [mm] \IF_{p^{m}}. [/mm] (woher weis ich das?)
Es gilt [mm] \IF_{p^{m}} \subseteq \bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}} [/mm] (warum?)
und warum folgt daraus jetzt die Behauptung??
Wäre schön, wenn mir einer von euch helfen könnte dabei...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Sa 13.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:
>
> Sei [mm]\IF_{p}[/mm] Körper der Ordnung p, [mm]\overline{\IF_{p}}[/mm] ein
> algebraischer Abschluss, p Primzahl.
> Zu Zeigen: [mm]\overline{\IF_{p}}[/mm] = [mm]\bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}}[/mm]
>
> Die eine Richtung ist mir klar.
> Ich habe Probleme damit diese Richtung [mm]"\subseteq"[/mm] zu
> verstehen, habe zwar einen knappen Beweis dazu, aber es
> wäre schön, wenn ihr mir dass ein bissl erklären könntet
> (ich habe Fragen mit dran geschrieben)...
>
> Der Beweis der Richtung ist so:
>
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}}[/mm] ist ein Körper (warum?) :
> a [mm]\in \IF_{p^{n}}[/mm] , b [mm]\in \IF_{p^{m}} \Rightarrow[/mm] a, b [mm]\in \IF_{p^{n*m}}[/mm]
> (wobei [mm]\IF_{p^{m}} \subseteq \IF_{p^{n}}[/mm] ist falls m Teiler
> von n) [mm]\Rightarrow[/mm] a+b [mm]\in \IF_{p^{n*m}}[/mm] (woher kommen
> diese Schlussfolgerungen und warum jetzt [mm]\IF_{p^{n*m}}[/mm] ?)
Nun, $n$ und $m$ sind offenbar Teiler von $n * m$, nicht? Also gilt [mm] $\IF_{p^n} \subseteq \IF_{p^{n*m}}$ [/mm] und [mm] $\IF_{p^m} \subseteq \IF_{p^{n*m}}$, [/mm] und damit $a, b [mm] \in \IF_{p^{n*m}}$. [/mm] Und da das ein Koerper ist liegt ...
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}}:\IF_{p}[/mm] ist eine
> algebraische Erweiterung, da jedes a [mm]\in \IF_{p^{n}}[/mm]
> algebraisch über [mm]\IF_{p}[/mm] ist. (Kann man das wirklich schon
> daraus folgern??)
Ja. Was bedeutet denn, das eine Erweiterung algebraisch ist? Doch einfach dsa jedes Element aus dem Oberkoerper algebraisch ueber dem Unterkoerper ist.
Und [mm] $\IF_{p^n}$ [/mm] ist eine endliche, also insb. algebraische Erweiterung von [mm] $\IF_p$.
[/mm]
> [mm]\bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}}[/mm] ist algebraisch
> abgeschlossen:
> Sei f(x) [mm]\in \bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}}[x],[/mm] und
> o.b.d.a. f(x) [mm]\in \IF_{p^{n}}[x].[/mm]
Fuer ein gross genuges $n$.
> Der Zerfällungskörper
> von [mm]f(x)\in \IF_{p^{n}}[x][/mm] ist ein endlicher Körper der
> Form [mm]\IF_{p^{m}}.[/mm] (woher weis ich das?)
Nunja, der Zerfaellungskoerper von $f$ ueber [mm] $\IF_{p^n}$ [/mm] ist eine endliche Erweiterung von [mm] $\IF_{p^n}$. [/mm] Insbesondere also wieder ein endlicher Koerper. Und damit von der Form (Eindeutigkeitssatz!) [mm] $\IF_{p^m}$ [/mm] fuer ein passendes $m$.
> Es gilt [mm]\IF_{p^{m}} \subseteq \bigcup_{n\in\IN}^{} \IF_{p^{n}}[/mm]
> (warum?)
Na, da steht eine Vereinigung auf der rechten Seite, wo u.a. die Menge auf der linken Seite mit vereinigt wird.
> und warum folgt daraus jetzt die Behauptung??
Du hast gezeigt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in der Vereinigung bereits alle Nullstellen in dieser Vereinigung hat, also die Vereinigung den Zerfaellungskoerper enthaelt.
LG Felix
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