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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mi 11.12.2013 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Eigenwerte und zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor für folgende Matrix:
[mm] A=\begin{pmatrix}
1& -1& 0\\
-2 &-2 & 4 \\
0&-1&1
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
erstmal vorweg die Frage ob ich die Aufgabe überhaupt verstanden habe:
Es werden Vektoren (z.B. [mm] \vec x_e) [/mm] und jeweils ein Faktor (z.B. [mm] \lambda) [/mm] gesucht, für die gilt:
[mm] A*\vec x_e [/mm] = [mm] \lambda*\vec x_e
[/mm]
D.h. Vektoren, die mit der Matrix multipliziert eine [mm] \lambda-fache [/mm] Streckung ergeben. Ist das so richtig?
Daraus ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
[mm] (1-\lambda)x-y=0 [/mm]
[mm]-2x+(-2-\lambda)y+4z=0 [/mm]
[mm]-y+z=0[/mm]
Um die möglichen [mm] \lambda [/mm] herauszubekommen bilde ich [mm] det(A)=-\lambda^3+\lambda
[/mm]
Die Determinante muss 0 sein, woraus sich als Lösungsmenge [mm] \IL= \left\{\lambda \in \IR | -1,0,1\right\} [/mm] ergibt.
Jetzt hakt es allerdings, muss ich jetzt die [mm] \lambda-Werte [/mm] in das ursprüngliche LGS einsetzen? Irgendwie bekomme ich da dann aber keine vernünftigen Vektoren heraus.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Mi 11.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie alle Eigenwerte und zu jedem Eigenwert einen
> Eigenvektor für folgende Matrix:
> [mm]A=\begin{pmatrix}
1& -1& 0\\
-2 &-2 & 4 \\
0&-1&1
\end{pmatrix}[/mm]
> Hallo,
> erstmal vorweg die Frage ob ich die Aufgabe überhaupt
> verstanden habe:
> Es werden Vektoren (z.B. [mm]\vec x_e)[/mm] und jeweils ein Faktor
> (z.B. [mm]\lambda)[/mm] gesucht, für die gilt:
> [mm]A*\vec x_e[/mm] = [mm]\lambda*\vec x_e[/mm]
> D.h. Vektoren, die mit der
> Matrix multipliziert eine [mm]\lambda-fache[/mm] Streckung ergeben.
> Ist das so richtig?
Ja.
>
> Daraus ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
> [mm](1-\lambda)x-y=0[/mm]
> [mm]-2x+(-2-\lambda)y+4z=0[/mm]
> [mm]-y+z=0[/mm]
Die letzte Gleichung stimmt nicht.
>
> Um die möglichen [mm]\lambda[/mm] herauszubekommen bilde ich
> [mm]det(A)=-\lambda^3+\lambda[/mm]
Du meinst sicher [mm] det(A-\lambda [/mm] E) = .....
> Die Determinante muss 0 sein, woraus sich als
> Lösungsmenge [mm]\IL= \left\{\lambda \in \IR | -1,0,1\right\}[/mm]
> ergibt.
stimmt.
> Jetzt hakt es allerdings, muss ich jetzt die [mm]\lambda-Werte[/mm]
> in das ursprüngliche LGS einsetzen? Irgendwie bekomme ich
> da dann aber keine vernünftigen Vektoren heraus.
zeig Deine Rechnungen !
FRED
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 11.12.2013 | | Autor: | jayw |
> > Daraus ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
> > [mm](1-\lambda)x-y=0[/mm]
> > [mm]-2x+(-2-\lambda)y+4z=0[/mm]
> > [mm]-y+z=0[/mm]
>
> Die letzte Gleichung stimmt nicht.
>
Oh ja, danke sehr, es muss heißen:
[mm]-y+(1-\lambda)z=0[/mm]
> >
> > Um die möglichen [mm]\lambda[/mm] herauszubekommen bilde ich
> > [mm]det(A)=-\lambda^3+\lambda[/mm]
>
> Du meinst sicher [mm]det(A-\lambda[/mm] E) = .....
Ja, danke.
[...]
> > Jetzt hakt es allerdings, muss ich jetzt die [mm]\lambda-Werte[/mm]
> > in das ursprüngliche LGS einsetzen? Irgendwie bekomme ich
> > da dann aber keine vernünftigen Vektoren heraus.
>
> zeig Deine Rechnungen !
angehängt!
> FRED
> > Danke!
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mi 11.12.2013 | | Autor: | fred97 |
>
> > > Daraus ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
> > > [mm](1-\lambda)x-y=0[/mm]
> > > [mm]-2x+(-2-\lambda)y+4z=0[/mm]
> > > [mm]-y+z=0[/mm]
> >
> > Die letzte Gleichung stimmt nicht.
> >
> Oh ja, danke sehr, es muss heißen:
> [mm]-y+(1-\lambda)z=0[/mm]
> > >
> > > Um die möglichen [mm]\lambda[/mm] herauszubekommen bilde ich
> > > [mm]det(A)=-\lambda^3+\lambda[/mm]
> >
> > Du meinst sicher [mm]det(A-\lambda[/mm] E) = .....
> Ja, danke.
>
> [...]
> > > Jetzt hakt es allerdings, muss ich jetzt die
> [mm]\lambda-Werte[/mm]
> > > in das ursprüngliche LGS einsetzen? Irgendwie bekomme ich
> > > da dann aber keine vernünftigen Vektoren heraus.
> >
> > zeig Deine Rechnungen !
>
> angehängt!
Echt toll ! Und wo ist Dein Problem ?
FRED
>
> > FRED
> > > Danke!
> >
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:58 Fr 13.12.2013 | | Autor: | jayw |
[...]
> Echt toll ! Und wo ist Dein Problem ?
Wie schreibe ich jetzt in der Lösung die Vektoren richtig auf?
Im Falle von [mm] \lambda=1 [/mm] ist ja z.B. der Vektor [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ein Eigenvektor. Aber auch [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}. [/mm]
> FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 16.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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