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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Di 11.05.2010 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Geben Sie alle Lösungen folgender Gleichung an:
2(x+1)y´= 4x+2y
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ich komme einfach nicht weiter, ich war krank, als uns das erklärt wurde, vielleicht kann mir ja jemand helfen..
ich habe das ganze erstmal nach y´umgestellt:
2(x+1)y´= 4x+2y | :2
(x+1)y´= 2x+y |: (x+1)
y´= [mm] \bruch{2x+y}{(x+1)}
[/mm]
jetzt soll ich irgendwie a(x) und b(x) bestimmen für: y´= a(x)y +b(x) oder y´- a(x)y = b (x) , aber da komme ich schon nicht mehr weiter, was soll mein a(x) und was mein b(x) sein? Denn ich soll zunächst die allgemeine Lösung yn finden, der zugehörigen homogenen Gleichung!
wäre sehr froh über einen ANsatz..
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Hallo
> Geben Sie alle Lösungen folgender Gleichung an:
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> 2(x+1)y´= 4x+2y
>
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> ich komme einfach nicht weiter, ich war krank, als uns das
> erklärt wurde, vielleicht kann mir ja jemand helfen..
>
> ich habe das ganze erstmal nach y´umgestellt:
>
> 2(x+1)y´= 4x+2y | :2
> (x+1)y´= 2x+y |: (x+1)
> y´= [mm]\bruch{2x+y}{(x+1)}[/mm]
mhh das bringt dir hier nicht viel. Das Stichwort lautet hier "integrierender Faktor", allgemein gilt für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung der Form
[mm] \bruch{dy}{dx}+p(x)*y=q(x) [/mm] , dass eine Lösung gegeben ist durch
[mm] y(x)=\bruch{1}{I(x)}*\integral{q(x)*I(x)dx} [/mm] , wobei [mm] I(x)=e^{\integral{p(x)dx}} [/mm] .
Nehme ich mir jetzt also deine Differentialgleichung:
2(x+1)y´= 4x+2y
[mm] \Rightarrow [/mm] 2(x+1)y'-2y=4x
[mm] \Rightarrow y'-\bruch{y}{x+1}=\bruch{2x}{x+1}
[/mm]
[mm] p(x)=\bruch{-1}{x+1}
[/mm]
[mm] q(x)=\bruch{2x}{x+1}
[/mm]
Den Rest kriegst du hin !
> jetzt soll ich irgendwie a(x) und b(x) bestimmen für: y´=
> a(x)y +b(x) oder y´- a(x)y = b (x) , aber da komme ich
> schon nicht mehr weiter, was soll mein a(x) und was mein
> b(x) sein? Denn ich soll zunächst die allgemeine Lösung
> yn finden, der zugehörigen homogenen Gleichung!
Die homogene Gleichung ist [mm] \bruch{dy}{dx}+p(x)=0 [/mm] setze also q(x)=0 und löse die Dgl, macht es einfacher :)
> wäre sehr froh über einen ANsatz..
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 11.05.2010 | | Autor: | julmarie |
Danke erstmal.. mir fehlt im Augenblick so die STruktur, ich weiß einfach nicht wie der ABlauf sein sollte..
Also als erstes muss man die Gleichung in die Form: y´-p(x) = q(x) bringen, dass haben wir ja mit :
$ [mm] \Rightarrow y'-\bruch{y}{x+1}=\bruch{2x}{x+1} [/mm] $ gemacht
Um die allgemeine Lösung yn der zugehörigen homogenen Gleochung zu finden setze ich: y´-p(x) = 0 , dies gilt nur für x= 0 , weil q(x) ja 0 ergeben muss und [mm] \bruch{2x}{x+1} [/mm] ist ja nr für x=0 insgesamt 0
also y´+( [mm] \bruch{1}{x+1})*y [/mm] =0
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] + [mm] \bruch{y}{x+1}=0
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{y}=-\bruch{dx}{x+1}
[/mm]
das integriere ich:
ln |y| = -ln |x+1| +c , hier wende ich jetzt die Exponentialfunktion an:
e^ln |y| = e^-ln |x+1| +c
|y|= -|x+1| -c
aber ich weiß nicht wie ich jetzt weiter machen muss um alle Lösungen der Gleichung 2(x+1)y´= 4x+2y zu erhalten. und ich bin mir nicht sicher ob meine biserigen schritte richtig sind..
Es wäre toll wenn mir da jemand irgendwie ein bischen Licht ins Dunkle bringen könnte..
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Hallo julmarie,
> Danke erstmal.. mir fehlt im Augenblick so die STruktur,
> ich weiß einfach nicht wie der ABlauf sein sollte..
>
> Also als erstes muss man die Gleichung in die Form:
> y´-p(x) = q(x) bringen, dass haben wir ja mit :
> [mm]\Rightarrow y'-\bruch{y}{x+1}=\bruch{2x}{x+1}[/mm] gemacht
>
> Um die allgemeine Lösung yn der zugehörigen homogenen
> Gleochung zu finden setze ich: y´-p(x) = 0 , dies gilt nur
> für x= 0 , weil q(x) ja 0 ergeben muss und [mm]\bruch{2x}{x+1}[/mm]
> ist ja nr für x=0 insgesamt 0
>
> also y´+( [mm]\bruch{1}{x+1})*y[/mm] =0
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]y'\red{-}\bruch{y}{x+1}=0[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] + [mm]\bruch{y}{x+1}=0[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{y}=-\bruch{dx}{x+1}[/mm]
>
> das integriere ich:
>
> ln |y| = -ln |x+1| +c , hier wende ich jetzt die
> Exponentialfunktion an:
>
> e^ln |y| = e^-ln |x+1| +c
> |y|= -|x+1| -c
>
> aber ich weiß nicht wie ich jetzt weiter machen muss um
> alle Lösungen der Gleichung 2(x+1)y´= 4x+2y zu erhalten.
> und ich bin mir nicht sicher ob meine biserigen schritte
> richtig sind..
Jetzt hast Du erstmal die Lösung der homogenen DGL
[mm]y'-\bruch{y}{x+1}=0[/mm]
Um auf die Lösung der inhomogenen DGL
[mm]y'-\bruch{y}{x+1}=\bruch{2x}{x+1}[/mm]
zu kommen, variierst Du die Konstante in der
homogenen Lösung, d.h. die Konstante wird von x abhängig gemacht.
Diese Lösungen existieren nur für [mm]x+1 \not= 0[/mm].
Den Fall x+1=0 musst Du noch untersuchen.
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> Es wäre toll wenn mir da jemand irgendwie ein bischen
> Licht ins Dunkle bringen könnte..
Gruss
MathePower
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