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alle Primelemente Z[i]: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:10 So 13.12.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Ich suche gerade alle Primelemente der ganzen Gaußschen Zahlen [mm] \mathbb{Z}[i]. [/mm]
Dazu habe ich das PDF: https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/number/leit07.pdf zu Hilfe genommen. (S.3-4)
Ich verstehe jedoch nicht den dritten Fall des Beweises.



Hallo,

Ich skizziere hier nochmal den Beweis vom Skriptum in meinen (hoffentlich richtigen) Worten:
Beh 1: Jedes Prim-Element z in [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm] ist Teiler einer Primzahl von [mm] \mathbb{Z} [/mm] in [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm]
Bew: [mm] z*\overline{z}=N(z) \in \mathbb{N} [/mm]
Zerlege N(z) in seine Primfaktorzerlegung in [mm] \mathbb{Z}: z\overline{z}=N(z)=p_1*...*p_t [/mm]
Da z prim in [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm] ist und [mm] p_i [/mm] (1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] t) auch in [mm] \mathbb{Z} [/mm] [i] liegen ist z Teiler von einen dieser [mm] p_i [/mm]

Sei z ein Prim-Element in [mm] \mathbb{Z}[i] [/mm] und p eine Primzahl mit z|p. Dann folgt N(z)| [mm] N(p)=p^2 \Rightarrow [/mm] N(z)=p [mm] \vee N(z)=p^2 \vee [/mm] N(z)=1
Jedoch aus N(z)=1 folgt z ist eine Einheit, was ein Widersspruch zu z prim ist.

Fall 1) N(z)=2 ist für mich klar
Fall 2) N(z)=p ist für mich klar
Fall 3) [mm] N(z)=p^2 [/mm] bereitet mir Schwierigkeiten
Da Ungerade*Ungerade=Ungerade, kann p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4 oder p [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4.
Nach schon gezeigten in einer anderen Übung würde aus p [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4 folgen, dass p selbst Primelement ist.
Für deb Fall p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4 folgt nach Satz von Fermat [mm] \exists [/mm] x,y [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] derart, dass [mm] p=x^2+y^2=(x+iy)*(x-iy) [/mm]
Mir ist auch klar, dass [mm] N(z)=p^2=N(p) [/mm] ist aber was das mit der assoziertheit zutun hat und mir hilf verstehe ich nicht! Es gilt doch nur zwei assozierte ganze Gaußsche Zahlen haben gleiche Norm aber nicht andersrum?

Liebe Grüße,
sissi

        
Bezug
alle Primelemente Z[i]: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 So 13.12.2015
Autor: hippias

Ich habe nicht in das Skript geschaut, aber vielleicht hilft Dir das folgende: Es existiert [mm] $e\in\IZ[i]$ [/mm] mit $p=ez$. Wegen [mm] $N(z)=p^{2}$ [/mm] folgt $N(e)=1$, d.h. $e$ ist Einheit.

Bezug
                
Bezug
alle Primelemente Z[i]: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:47 Di 15.12.2015
Autor: felixf

Moin!

> Ich habe nicht in das Skript geschaut, aber vielleicht
> hilft Dir das folgende: Es existiert [mm]e\in\IZ[i][/mm] mit [mm]p=ez[/mm]. [/i][/mm]
> [mm][i]Wegen [mm]N(z)=p^{2}[/mm] folgt [mm]N(e)=1[/mm], d.h. [mm]e[/mm] ist Einheit. [/i][/mm]

Das beantwortet (so wie ich das sehe) die Frage bereits, denn nach Voraussetzung gilt ja $z [mm] \mid [/mm] p$.

Ich hab die Mitteilung deswegen in eine Antwort umgewandelt.

LG Felix


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