allg. Lösungsrezept für inho. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Assauer |
Hi @ all,
Habe eine Frage, ob es für inhomogene Systeme eine allgemeine Rezeptur zur Lösung gibt?
Weiß zwar, dass es mit der Wronski Det funzt, aber die Integrale werden mir entweder zu kompliziert oder ich bekomm da 0 raus hrhr.
Kennt da einer ein anderen Weg oder eine Liste mit den Lösungsansätzen mit Beispielen?
Wär echt nett!
Liebe Grüße
Assauer
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Guten Tach. Also ich denke mal du suchst Lösungen des System $y'=A(x)*y+b(x)$ mit $ A(x): I [mm] \subset [/mm] R [mm] \rightarrow \IR^{nxn} [/mm] $ stetig und $b(x): I [mm] \rightarrow \IR^n [/mm] $ stetig. Die Allgemeine Lösung ergibt sich ja als Lösung des Homogenen DGL $ y'=A(x)*y $ meist als [mm] L_{H} [/mm] bezeichnet und einer speziellen Lösung von $ y'=A(x)*y+b(x) $. Das homogene System löst du ja indem du die Eigenwerte und dazugehörigen Eigenvektoren der Matrix ausrechnest. Die Lösungen sind dann linear unabhängig und die Matrix [mm] \phi [/mm] ist eine $ nxn $ Matrix. Dann machst du den als Variation der Konstanten Ansatz. Eine Spezielle Lösung [mm] \psi [/mm] ergibt sich als [mm] \psi=\phi*u(x), [/mm] wobei [mm] $u(x)=\integral_{x_{0}}^{x}{\phi^{-1}(t)*b(t) dt}$. [/mm] Dass kann natürlich abhängig von der Größe der Matrix [mm] \phi [/mm] recht aufwendig werden, den Inverse berechnen ist unschön. Dann kann man das Gleichungssystem $ [mm] \phi(x)*u'(x)=b(x)$ [/mm] Lösen dadurch erhält man $u'(x)$. Dann das $u'(x)$ komponentenweise integrieren. Durch multiplikation mit [mm] \phi [/mm] erhälst du eine Spezielle Lösung des Systems.
Schöne Grüße
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:35 So 02.03.2008 | | Autor: | Assauer |
Vielen Dank erstmal für die Hilfe, aber ich habe mich falsch ausgedrückt.
Ich meinte spezielle Ansätze für Störfunktionen bei DGLs 2. Ordnung eine Art Liste und eine allgemeine Vorgehensweise.
Habe hier schon es öfter mit Wronski versucht, aber bekomme nie das selbe Ergebnis raus, als wenn ich ne spezielle Lösung nehme.
Von den speziellen Lösungen verstehe ich derzeit auch leider nur die
Ax² + Bx + C
Daher suche ich noch eine Liste mit guter Erklärung und Beispielen, was ich leider nicht finde.
Habe z.B. im Papula ein Ansatz für e Funktionen gefunden, wo es jedoch heißt, dass 3*e^(4x) und [mm] 6*e^x [/mm] ein anderen Ansatz hätten (Fall 1 A*e^(4x) und 2 [mm] Ax*e^x).
[/mm]
Dachte es würde damit zusammenhängen, dass beim Fall 2 im Exponenten nur x steht, aber in einer Probeklausur ist folgendes Störfunktion:
[mm] 2*e^t
[/mm]
bei den 2 Fällen aus dem Papula würde ich sagen
Fall2, also Ansatz:
[mm] Ax*e^x
[/mm]
in der Musterlösung wurde es jedoch genau der andere Fall genommen, versteh ich nicht :(.
Bräuchte halt sonst noch die üblichen Ansätze für cos, sin, tan usw. halt die fundamentalen Sachen.
Und wenn es für eine Funktion ein speziellen Ansatz gibt, aber ich es mit Wronski machen würde, und das Integral so stehen laßen würde, würde man dann sagen, dafür gibts anderen besseren Ansatz entsprechend Punktabzug oder wie seht ihr das?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, diese Ansätze machen mich noch fertig!!
Liebst Grüße an alle!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 So 02.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du jetzt Dgl 2ter Ordnung, eine Variable, oder ein System von DGl?
Was du schreibst, sind eine Anzahl Ansätze ohne zugehörige Dgl. deshalb kann man wirklich aschwer antworten.
Also schreib genau auf, für welche Sorte von Problemen du ne Lösung suchst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 02.03.2008 | | Autor: | Assauer |
auf jeden Fall 2. Ordnung suche allgemein für solche Sachen Lösungen:
y´´ + y´ = cosx
y´´ + y´ = sinx
y´´ + y´ = tanx
y´´ + y´ = [mm] 3e^x
[/mm]
y´´ + y´ = 3e^(4x)
y´´ + y´ = sin(2x)
y´´ + y´ = ln(x)
usw. .
Mein Problem ist einfach, dass es wohl für diese Störfunktionen mehrere Ansätze existieren und eine globale Lösung die via Wronski-Determinante.
Letzgenannteres bewirkt aber mehr Integrale die man nicht lösen kann, wobei bei Verwendung spezieller Ansätze dieses vermieden wird.
Meine Frage, wenn ich diesen speziellen ansatz nicht nutzen würde und das Integral stehen lassen würde, wär das nicht so toll oder?
Nächste Frage:
Wo gibt es eine sauber gut verständliche ggf mit Beispielen eine Liste mit diesen Ansätzen
Grüße
Assauer
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