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allg. Lsg Differentialgl.: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 So 12.06.2011
Autor: Glava

Aufgabe
Berechnen Sie die allgemeine Lösung für die Differentialgleichung:

y' = -y + [mm] xy^2 [/mm] !

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Lösung bisher:

Ich hab es mit der Bernoullischen Dgl. probiert, d.h. mit dem Ansatz y' = g(x)y + [mm] r(x)y^\alpha [/mm]

g(x) = -1
r(x) = x
[mm] \alpha [/mm] = 2 --> z = [mm] y^{1-\alpha} [/mm] --> z = [mm] \bruch{1}{y} [/mm]

z' = z - x mit dem Ansatz: z' = [mm] (1-\alpha) [/mm] (zg(x) + r(x))


danach habe ich das homogene Problem z' = z gelöst:

[mm] \integral_{}^{}\bruch{1}{z} [/mm] {dz} = [mm] \integral_{}^{}1 [/mm] {dx}

dann bekomm ich für z = [mm] e^x*C [/mm] raus...


Jetzt kommt mein Problem, mal davon ausgegangen, dass ich überhaupt bisher den richtigen Weg gewählt habe mit Bernoulli...

Wenn ich jetzt z ableite bekomm ich:

z' = [mm] e^x [/mm] (C + C')

und wenn ich das dann in z' = z - x einsetze, kürzt sich das C nicht raus und ich bekomme:

[mm] e^x [/mm] (C + C') (linke Seite) = [mm] e^x*C [/mm] - x (rechte Seite)


und komme dann im Endeffekt auf:

1 + [mm] \bruch{C'}{C} [/mm] = - x


Wäre super, wenn ihr mir wenigstens einen kurzen Anhaltspunkt geben könntet, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin..

Danke euch!


        
Bezug
allg. Lsg Differentialgl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 So 12.06.2011
Autor: fred97


> Berechnen Sie die allgemeine Lösung für die
> Differentialgleichung:
>  
> y' = -y + [mm]xy^2[/mm] !
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Lösung bisher:
>  
> Ich hab es mit der Bernoullischen Dgl. probiert, d.h. mit
> dem Ansatz y' = g(x)y + [mm]r(x)y^\alpha[/mm]
>  
> g(x) = -1
>  r(x) = x
>  [mm]\alpha[/mm] = 2 --> z = [mm]y^{1-\alpha}[/mm] --> z = [mm]\bruch{1}{y}[/mm]

>  
> z' = z - x mit dem Ansatz: z' = [mm](1-\alpha)[/mm] (zg(x) + r(x))
>  
>
> danach habe ich das homogene Problem z' = z gelöst:
>  
> [mm]\integral_{}^{}\bruch{1}{z}[/mm] {dz} = [mm]\integral_{}^{}1[/mm] {dx}
>  
> dann bekomm ich für z = [mm]e^x*C[/mm] raus...
>  
>
> Jetzt kommt mein Problem, mal davon ausgegangen, dass ich
> überhaupt bisher den richtigen Weg gewählt habe mit
> Bernoulli...
>  

Das ist O.k.



> Wenn ich jetzt z ableite bekomm ich:
>  
> z' = [mm]e^x[/mm] (C + C')
>  
> und wenn ich das dann in z' = z - x einsetze, kürzt sich
> das C nicht raus und ich bekomme:

Es ist einersets

            [mm] z'=Ce^x+C'e^x [/mm]

und andererseits

             z'=z-x= [mm] Ce^x-x [/mm]

Also:  [mm] C'e^x=-x [/mm]

FRED

>  
> [mm]e^x[/mm] (C + C') (linke Seite) = [mm]e^x*C[/mm] - x (rechte Seite)
>
>
> und komme dann im Endeffekt auf:
>  
> 1 + [mm]\bruch{C'}{C}[/mm] = - x
>  
>
> Wäre super, wenn ihr mir wenigstens einen kurzen
> Anhaltspunkt geben könntet, ob ich überhaupt auf dem
> richtigen Weg bin..
>  
> Danke euch!
>  


Bezug
                
Bezug
allg. Lsg Differentialgl.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:53 So 12.06.2011
Autor: Glava

Ok danke, da war ich wohl ziemlich blind...Danke für die schnelle Antwort!

Bezug
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