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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - allgemeine Lösung der dgl
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allgemeine Lösung der dgl: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:51 Mo 27.01.2020
Autor: djanselo

Aufgabe
Hi leute ,

ich habe eine kurze Frage zur allgemeinen Lösungen einer DGL.
Ich habe die Wellengleichung mittels Separationsansatz auf zwei DGLs $X(x)$ und $T(t)$ herunter gebrochen.
Ich habe dazu die Separationskosntante [mm] $\alpha$ [/mm] eingeführ
Jetzt habe ich zuerst $X(x)$ betrachtet.$X(x)$ wollte ich mittels exponentialansatz lösen. Ich bin zum schluss gekommen,dass falls [mm] $\alpha>0$ [/mm] oder [mm] $\alpha=0$ [/mm] ist,es nur triviale Lösungen gibt.
Das heißt,ich betrachte [mm] $\alpha<0$ [/mm] und deshalb bekomme ich zwei imaginäre Nullstellen und meine allgemeine Lösung ist:
[mm] $X(x)=c_1\cos\left(\sqrt{\beta}x\right)+c_2\sin\left(\sqrt{\beta}x\right)$,dabei [/mm] definiere ich [mm] $\alpha=-\beta$ [/mm]
Ich habe die beiden Randbedingungen [mm] $y(-\pi,t)=y(\pi,t)=0$ [/mm] für meine Wellengleichung.
Betrachte ich [mm] $X(\pi)=c_1\cos\left(\sqrt{\beta}\pi\right)+c_2\sin\left(\sqrt{\beta}\pi\right)=0$ [/mm] , erhalte ich zwei Fälle für nicht triviale Lösungen von [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$. [/mm]

1.Fall [mm] $\sin\left(\sqrt{\beta}\pi\right)=0 [/mm] $

Das ist genau dann,wenn [mm] $\sqrt{beta}\pi=k \pi \Leftrightarrow \beta=k^2$ [/mm] für alle $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] . Darausfolgt [mm] $c_1=0$ [/mm]
2.Fall [mm] $\cos\left(\sqrt{\beta}\pi\right)=0$ [/mm]
Das ist genau dann,wenn [mm] $\sqrt{beta}\pi=\frac{2k+1}{2}\pi $\Leftrightarrow $\beta=\left(\frac{2k+1}{2}\right)^2$ [/mm] für alle $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] . Darausfolgt [mm] $c_2=0$ [/mm]

Betrachtet man jetzt [mm] $\beta [/mm] = [mm] \frac{1}{4},1,\frac{9}{4},2,\frac{25}{4}$ [/mm]

erhält man die Lösungen

[mm] $X_1(x)=\cos\left(\frac{1}{2}x\right)$ [/mm]
[mm] $X_2(x)=\sin\left(x\right)$ [/mm]
[mm] $X_3(x)=\cos\left(\frac{3}{2}x\right)$ [/mm]
[mm] $X_4(x)=\sin\left(2x\right)$ [/mm]
[mm] $X_5(x)=\cos\left(\frac{5}{2}x\right)$ [/mm]


Kann ich nun sagen,dass die allgemeine Lösungen von

$X(x) [mm] =c_1\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right)+c_2\sin\left(kx\right) [/mm] für alle k [mm] \in \mathbb{N}_0$ [/mm]

        
Bezug
allgemeine Lösung der dgl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Mo 27.01.2020
Autor: fred97


> Hi leute ,
>  
> ich habe eine kurze Frage zur allgemeinen Lösungen einer
> DGL.
>  Ich habe die Wellengleichung mittels Separationsansatz auf
> zwei DGLs [mm]X(x)[/mm] und [mm]T(t)[/mm] herunter gebrochen.
>  Ich habe dazu die Separationskosntante [mm]\alpha[/mm] eingeführ
>  Jetzt habe ich zuerst [mm]X(x)[/mm] betrachtet.[mm]X(x)[/mm] wollte ich
> mittels exponentialansatz lösen. Ich bin zum schluss
> gekommen,dass falls [mm]\alpha>0[/mm] oder [mm]\alpha=0[/mm] ist,es nur
> triviale Lösungen gibt.
>  Das heißt,ich betrachte [mm]\alpha<0[/mm] und deshalb bekomme ich
> zwei imaginäre Nullstellen und meine allgemeine Lösung
> ist:
>  
> [mm]X(x)=c_1\cos\left(\sqrt{\beta}x\right)+c_2\sin\left(\sqrt{\beta}x\right)[/mm],dabei
> definiere ich [mm]\alpha=-\beta[/mm]
>  Ich habe die beiden Randbedingungen [mm]y(-\pi,t)=y(\pi,t)=0[/mm]
> für meine Wellengleichung.
>  Betrachte ich
> [mm]X(\pi)=c_1\cos\left(\sqrt{\beta}\pi\right)+c_2\sin\left(\sqrt{\beta}\pi\right)=0[/mm]
> , erhalte ich zwei Fälle für nicht triviale Lösungen von
> [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm].
>  
> 1.Fall [mm]\sin\left(\sqrt{\beta}\pi\right)=0[/mm]
>  
> Das ist genau dann,wenn [mm]\sqrt{beta}\pi=k \pi \Leftrightarrow \beta=k^2[/mm]
> für alle [mm]k \in \mathbb{N}[/mm] . Darausfolgt [mm]c_1=0[/mm]
>  2.Fall [mm]\cos\left(\sqrt{\beta}\pi\right)=0[/mm]
>  Das ist genau dann,wenn [mm]\sqrt{beta}\pi=\frac{2k+1}{2}\pi[/mm][mm] \Leftrightarrow[/mm]
>  [mm]\beta=\left(\frac{2k+1}{2}\right)^2[/mm] für alle [mm]k \in \mathbb{N}[/mm]
> . Darausfolgt [mm]c_2=0[/mm]
>  
> Betrachtet man jetzt [mm]\beta = \frac{1}{4},1,\frac{9}{4},2,\frac{25}{4}[/mm]
>  
> erhält man die Lösungen
>  
> [mm]X_1(x)=\cos\left(\frac{1}{2}x\right)[/mm]
>  [mm]X_2(x)=\sin\left(x\right)[/mm]
>  [mm]X_3(x)=\cos\left(\frac{3}{2}x\right)[/mm]
>  [mm]X_4(x)=\sin\left(2x\right)[/mm]
>  [mm]X_5(x)=\cos\left(\frac{5}{2}x\right)[/mm]
>  
> Kann ich nun sagen,dass die allgemeine Lösungen von

   ???? von was ? Ich nehme an , Du meinst die Lösungen des Randwert problemx für X.

>  
> [mm]X(x) =c_1\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right)+c_2\sin\left(kx\right) für alle k \in \mathbb{N}_0[/mm]

Nein ! Oben hast Du doch verschiedene [mm] \beta [/mm] 's im Cosinus und im Sinus

Ist [mm] c_1 \ne [/mm] 0 [mm] \ne c_2, [/mm] so ist

[mm]X(x) =c_1\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right)+c_2\sin\left(kx\right)[/mm]

keine Lösung des Randwertproblems für X.

Die Lösungen lauten:

   [mm] c_1\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right) [/mm] mit [mm] c_1 \in \IR [/mm] und k [mm] \in \IN_0 [/mm]

und

    [mm] c_2\sin\left(kx\right) [/mm] mit [mm] c_2 \in \IR [/mm] und k [mm] \in \IN_0 [/mm]


Bezug
                
Bezug
allgemeine Lösung der dgl: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:39 Mo 27.01.2020
Autor: djanselo

Dank dir für deine Antwort fred97,

ich hab jetzt für die Zeitgleichung $T(t)$ folgende Lösungen

für die Lösung $X(x)= [mm] c_1\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right) [/mm] $ mit $ [mm] c_1 \in \IR [/mm] $ und k $ [mm] \in \IN_0 [/mm] $
bekomme ich diese Lösung von $T(t)$
[mm] $T(t)=\left(c_5\cos\left(\frac{2k+1}{2}ct\right)+c_6\sin\left(\frac{2k+1}{2}ct\right)\right)$ [/mm]

für den Fall $ [mm] c_2\sin\left(kx\right) [/mm] $ mit $ [mm] c_2 \in \IR [/mm] $ und k $ [mm] \in \IN_0 [/mm] $
erhalte ich
[mm] $T(t)=\left(c_3\cos\left(kct\right)+c_4\sin\left(kct\right)\right)$ [/mm]

Ich muss ja den Separationsansatz

$u(x,t)=X(x)T(t)$ lösen,damit ich die Wellengleichung lösen kann.Heißt das,dass die lösung der Wellengleichung

[mm] $u_{k}(x,t)=c_1\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right)\left(c_5\cos\left(\frac{2k+1}{2}ct\right)+c_6\sin\left(\frac{2k+1}{2}ct\right)\right)+ c_2\sin\left(kx\right)\left(c_3\cos\left(kct\right)+c_4\sin\left(kct\right)\right)$ [/mm] mit $k [mm] \in \mathbb{N}_0 [/mm]

kann ich dann sagen,dass $k$ verschiende Lösungen hab und dass die linearkombination dieser Lösungen auch eine Lösung ist.(Superposition)?
Das heißt,
[mm] $u(x,t)=\sum_{k=0}^{n}c_1\cos\left(\frac{2k+1}{2}x\right)\left(c_5\cos\left(\frac{2k+1}{2}ct\right)+c_6\sin\left(\frac{2k+1}{2}ct\right)\right)+ c_2\sin\left(kx\right)\left(c_3\cos\left(kct\right)+c_4\sin\left(kct\right)\right)$ [/mm]

Ich hab mega Probleme die allgemeine Lösung der Wellengleichung raus zu bekommen und dann das Superpositionsprinzip zu begründen.Es wäre echt mega nett,falls du mir helfen könntest..:/

Bezug
                        
Bezug
allgemeine Lösung der dgl: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:21 Mi 29.01.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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