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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 So 10.04.2016 | | Autor: | phifre |
| Aufgabe | Es sei $s>1$ eine reelle Zahl. Man beweise, dass für jedes $N [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] die Ungleichung
[mm] $(1-2^{1-s})$ $\summe_{n=1}^{N}$ $n^{-s}$ [/mm] $< 1$
gilt und schließe daraus, dass die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} n^{-s}$ [/mm] konvergiert. |
Hallo zusammen,
wir sitzen gerade an dieser Aufgabe und schaffen es leider nicht die Ungleichung zu zeigen. Der zweite Teil sollte klar sein, nur die Ungleichung ist das Problem.
Wir dürfen leider noch nicht das Integralkriterium für Reihen benutzen, weshalb die Aufgabe wohl auch so gestellt ist.
Über Denkanstöße würden wir uns sehr freuen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 So 10.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]s>1[/mm] eine reelle Zahl. Man beweise, dass für jedes [mm]N \in \mathbb{N}[/mm]
> die Ungleichung
> [mm](1-2^{1-s})[/mm] [mm]\summe_{n=1}^{N}[/mm] [mm]n^{-s}[/mm] [mm]< 1[/mm]
> gilt und
> schließe daraus, dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^{-s}[/mm]
> konvergiert.
> Hallo zusammen,
>
> wir sitzen gerade an dieser Aufgabe und schaffen es leider
> nicht die Ungleichung zu zeigen. Der zweite Teil sollte
> klar sein, nur die Ungleichung ist das Problem.
> Wir dürfen leider noch nicht das Integralkriterium für
> Reihen benutzen, weshalb die Aufgabe wohl auch so gestellt
> ist.
>
> Über Denkanstöße würden wir uns sehr freuen!
Edit: hier stand Unfug.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 So 10.04.2016 | | Autor: | phifre |
Kannst Du das genauer begründen? [mm] $\pi^2$ $\le [/mm] 12$ gilt doch?
Die Aufgabe ist sicher richtig abgeschrieben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 So 10.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Kannst Du das genauer begründen? [mm]\pi^2[/mm] [mm]\le 12[/mm] gilt doch?
Ja, Du hast recht. Oben hab ich Undinn geschrieben.
FRED
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> Die Aufgabe ist sicher richtig abgeschrieben!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 10.04.2016 | | Autor: | phifre |
Weiß jemand eine Möglichkeit die Aufgabe zu lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mo 11.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Weiß jemand eine Möglichkeit die Aufgabe zu lösen?
Ich habe mich am Beweis des Cauchyschen Verdichtungssatzes orientiert. Dazu setzen wir [mm] a_n:=\bruch{1}{n^s}.
[/mm]
Sei N [mm] \in \IN [/mm] und k [mm] \in \IN [/mm] so gewählt, dass [mm] 2^k \ge [/mm] N ist.
Nun überlege Dir , dass gilt:
[mm] a_1+a_2+...+a_N =a_1+(a_2+a_3)+(a_4+...+a_7)+...+((a_{2^k}+....+a_{2^{k+1}-1})
[/mm]
Die erste Klammer ist [mm] \le 2a_2, [/mm] die zweite Klammer ist [mm] \le 4a_4,...., [/mm] die letzte Klaammer ist [mm] \le 2^ka_{2^k}.
[/mm]
Damit haben wir
[mm] a_1+a_2+...+a_N \le a_1+2a_2+...+ 2^ka_{2^k}< \summe_{j=0}^{\infty}2^ja_{2^j} [/mm]
Berechne nun Du den Quotienten [mm] 2^ja_{2^j} [/mm] . Dann solltest Du sehen, dass [mm] \summe_{j=0}^{\infty}2^ja_{2^j} [/mm] eine geometrische Reihe ist.
Mit der bekannten Summenformel für geom. Reihen bekommt man dann
[mm] \summe_{j=0}^{\infty}2^ja_{2^j} =\bruch{1}{1-2^{1-s}}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Di 12.04.2016 | | Autor: | phifre |
Vielen Dank erstmal!
Ich verstehe leider noch nicht ganz, was Du mit dem Quotienten meinst.. Und wie man dann mit der Summenformel für geom. Reihen auf den Ausdruck kommt. Nimmt man die [mm] $2^j$ [/mm] mit in die geom. Reihe? Bei mir bleibt dann noch das $j$ über..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Di 12.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank erstmal!
>
> Ich verstehe leider noch nicht ganz, was Du mit dem
> Quotienten meinst.. Und wie man dann mit der Summenformel
> für geom. Reihen auf den Ausdruck kommt. Nimmt man die [mm]2^j[/mm]
> mit in die geom. Reihe? Bei mir bleibt dann noch das [mm]j[/mm]
> über..
Bei mir nicht.
[mm] 2^j*a_{2^j}=\bruch{2^j}{(2^j)^s}=(\bruch{2}{2^s})^j
[/mm]
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Di 12.04.2016 | | Autor: | phifre |
Ja tatsächlich, das ist mir eben auch aufgefallen, vielen Dank!
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