matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenWahrscheinlichkeitstheoriealpha-Fehler
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - alpha-Fehler
alpha-Fehler < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

alpha-Fehler: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:30 Mi 10.06.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

bei mir im Buch geht es um [mm] \alpha- [/mm] und [mm] \beta-Fehler [/mm] bei Hypothesentests. Leider sind einige Sachen für mich nicht ganz nachvollziehbar. Ich zitiere mal:

" ... definiert man [mm] \alpha [/mm] als obere Schranke für eine Fehlentscheidung (= Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfwert T bei Gültigkeit der [mm] H_0-Hypothese [/mm] in den Ablehnungsbereich K fällt). Die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung in Abhängigkeit vom wahren Wert [mm] \Theta [/mm] wird als Gütefunktion (engl. power function ) bezeichnet:

[mm] G(\Theta) [/mm] = [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K [mm] \parallel \Theta) [/mm]

Nun legt man [mm] \alpha [/mm] als kleinste obere Schranke (Supremum) für eine Fehlentscheidung fest, wenn der wahre Wert [mm] \Theta [/mm] im für [mm] H_0 [/mm] günstigen Bereich [mm] \Theta_0 [/mm] liegt: [mm] \alpha [/mm] = [mm] sup_{\Theta \in \Theta_0} G(\Theta)." [/mm]

Verstehe ich das richtig: [mm] G(\Theta) [/mm] ist allgemein die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung, also:

[mm] G(\Theta) [/mm] = [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K | [mm] \Theta \in \Theta_0) [/mm] + [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \not\in [/mm] K | [mm] \Theta \not\in \Theta_0) [/mm] (1)

Und die Schreibweise

[mm] \alpha [/mm] = [mm] sup_{\Theta \in \Theta_0} G(\Theta) [/mm] (2)

würde dann letztendlich bedeuten

[mm] \alpha [/mm] = [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K | [mm] \Theta \in \Theta_0) [/mm] = [mm] G(\Theta) [/mm] - [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \not\in [/mm] K | [mm] \Theta \not\in \Theta_0) [/mm] (3)

Korrekt? Wenn ja, dann beißt sich das mit meinem bisherigen Verständnis von [mm] \alpha, [/mm] denn an anderer Stelle im Buch heißt es:

[mm] \alpha [/mm] = [mm] P(\Theta \not\in [g_u(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n), g_o(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n)]) [/mm] (4)

wobei

[mm] [g_u(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n), g_o(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n)] [/mm]

das Konfidenzintervall ist. Nach (4) ist doch dann [mm] \alpha [/mm] ganz allgemein die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung, genau wie [mm] G(\Theta) [/mm] nach (1), also:

[mm] \alpha [/mm] = [mm] G(\Theta) [/mm] (5)

Nach (3) gilt doch aber

[mm] \alpha [/mm] = [mm] G(\Theta) [/mm] - [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \not\in [/mm] K | [mm] \Theta \not\in \Theta_0) [/mm]

Was stimmt denn nun?

        
Bezug
alpha-Fehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Mi 10.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> " ... definiert man [mm]\alpha[/mm] als obere Schranke für eine
> Fehlentscheidung (= Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfwert
> T bei Gültigkeit der [mm]H_0-Hypothese[/mm] in den
> Ablehnungsbereich K fällt).

Oder anders ausgedrückt: [mm] $\alpha$ [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese abgelehnt wird, obwohl sie korrekt ist. (Fehler 1. Art).

> Die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung in Abhängigkeit vom wahren Wert
> [mm]\Theta[/mm] wird als Gütefunktion (engl. power function )
> bezeichnet:
>  
> [mm]G(\Theta)[/mm] = [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \in[/mm] K [mm]\parallel \Theta)[/mm]

Hier wird die Gütefunktion G doch definiert, warum nutzt du sie später nicht?

>  
> Nun legt man [mm]\alpha[/mm] als kleinste obere Schranke (Supremum)
> für eine Fehlentscheidung fest, wenn der wahre Wert [mm]\Theta[/mm]
> im für [mm]H_0[/mm] günstigen Bereich [mm]\Theta_0[/mm] liegt: [mm]\alpha[/mm] =
> [mm]sup_{\Theta \in \Theta_0} G(\Theta)."[/mm]

G einsetzen liefert also:
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] sup_{\Theta \in \Theta_0} P(T(X_1, \ldots, X_n) \in [/mm] K [mm] \parallel \Theta)$ [/mm]

>  
> Verstehe ich das richtig: [mm]G(\Theta)[/mm] ist allgemein die
> Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung, also:
>  
> [mm]G(\Theta)[/mm] = [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \in[/mm] K | [mm]\Theta \in \Theta_0)[/mm]
> + [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \not\in[/mm] K | [mm]\Theta \not\in \Theta_0)[/mm]
> (1)

Wie kommst du jetzt auf den Schmu?
Was einfaches Einsetzen liefert, hab ich dir oben ja gesagt…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
alpha-Fehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Mi 10.06.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

> > [mm]G(\Theta)[/mm] = [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \in[/mm] K [mm]\parallel \Theta)[/mm]
>  
> Hier wird die Gütefunktion G doch definiert, warum nutzt
> du sie später nicht?

Mir ist die Schreibweise

[mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K [mm] \parallel \Theta) [/mm]

nicht geläufig; wie soll ich das lesen? Ich verstehe

[mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K))

als die Wahrscheinlichkeit, dass T in den Ablehnungsbereich K fällt, ganz egal ob "berechtigt" oder nicht. Was aber bedeutet der Zusatz [mm] \parallel \Theta? [/mm]

Gleiches gilt für [mm] sup_{\Theta \in \Theta_0} G(\Theta): [/mm] Wie "spricht" man das bzw. wie kann man das in Prosa fassen?

Gruß und Danke,

Martin

Bezug
                        
Bezug
alpha-Fehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:45 Mi 10.06.2020
Autor: sancho1980

keiner? Ich raff es wirklich nicht ...

Bezug
                        
Bezug
alpha-Fehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Do 11.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mir ist die Schreibweise
>  
> [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \in[/mm] K [mm]\parallel \Theta)[/mm]
>  
> nicht geläufig; wie soll ich das lesen?

Der Parameter [mm] $\Theta$ [/mm] ist ja unbekannt.
Obiger Ausdruck vermerkt nun "nur", dass das der unbekannte Paramter nun gerade [mm] $\Theta$ [/mm] sein soll.
Man kann das lesen als "unter der Bedingung / Annahme, dass der Paramter gerade [mm] \Theta [/mm] ist". Aber: Das ist nicht als bedingte Wahrscheinlichkeit gemeint, sondern ist nur Notation!

> Ich verstehe
>  
> [mm]P(T(X_1,[/mm] ..., [mm]X_n) \in[/mm] K))
>  
> als die Wahrscheinlichkeit, dass T in den Ablehnungsbereich
> K fällt, ganz egal ob "berechtigt" oder nicht. Was aber
> bedeutet der Zusatz [mm]\parallel \Theta?[/mm]

Ja, letztlich bedeutet das oben dasselbe, aber du verlierst in dieser Notation halt die Information, dass das ganze ja  von [mm] \Theta [/mm] abhängt.
D.h. welcher Wert bei obiger Wahrscheinlichkeit herauskommt, hängt ja von [mm] \Theta [/mm] ab!


> Gleiches gilt für [mm]sup_{\Theta \in \Theta_0} G(\Theta):[/mm] Wie
> "spricht" man das bzw. wie kann man das in Prosa fassen?

Naja nochmal: [mm] $G(\Theta)$ [/mm] ist nach obigem nun ein Wert, der von [mm] $\Theta$ [/mm] abhängt.
Nun hat man bspw. schon eingegrenzt, dass [mm] $\Theta$ [/mm] nur aus einem bestimmten Bereich [mm] \Theta_0 [/mm] kommen kann und bildet darüber das Supremum.

Das macht auch Sinn: Zu einem bestimmten fixierten [mm] \Theta [/mm] ist [mm] $G(\Theta)$ [/mm] der "die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung".
Kann [mm] \Theta [/mm] nun nur auf einen bestimmten Wertebereich [mm] \Theta_0 [/mm] eingegrenzt werden, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art nun gerade maximal so groß, wie obiges Supremum.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
alpha-Fehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Do 11.06.2020
Autor: sancho1980

Ich glaub jetzt ist der Knoten geplatzt; ich fass das nochmal mit eigenen Worten zusammen:

In

[mm] G(\theta) [/mm] = [mm] P(T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in [/mm] K [mm] \parallel \theta) [/mm]

wird angenommen, dass der gesuchte Parameter gleich [mm] \theta [/mm] (nicht [mm] \Theta) [/mm] ist.
Dann ist es ausreichend wahrscheinlich (1 - [mm] \alpha), [/mm] dass ein beliebiges [mm] T(X_1, [/mm] ..., [mm] X_n) \in K^C. [/mm]

Wenn es sich um eine einfache Null-Hypothese der Form

[mm] \theta [/mm] = [mm] \theta_0 [/mm]

handelt, kann ich nun einfach schreiben: [mm] \alpha [/mm] = [mm] G(\theta_0). [/mm]

Handelt es sich aber um eine zusammengesetzte Nullhypothese (z.B. [mm] \theta \not= \theta_0, \theta [/mm] > [mm] \theta_0 [/mm] oder [mm] \theta [/mm] < [mm] \theta_0), [/mm] dann bezeichnet [mm] \Theta_0 [/mm] (nicht [mm] \theta_0) [/mm] denjenigen Wertebereich, von dem die Null-Hypothese behauptet, dass [mm] \theta [/mm] in ihm liegt (also {x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \not= \theta_0 [/mm] }, {x [mm] \in \IR [/mm] | x > [mm] \theta_0 [/mm] } oder {x [mm] \in \IR [/mm] | x < [mm] \theta_0 [/mm] }).

Dann bedeutet

[mm] \alpha [/mm] = [mm] sup_{\theta \in \Theta_0} G(\theta) [/mm]

nichts Anderes als

[mm] \forall \theta \in \Theta_0 [/mm] : [mm] G(\theta) \le \alpha. [/mm]

Korrekturen erwünscht.

Bezug
                                        
Bezug
alpha-Fehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:35 Do 11.06.2020
Autor: luis52

Moin sancho, kleine Korrektur: Fuer die Nullhypothese [mm] $\text{H}_0:\theta=\theta_0$ [/mm] ist [mm] $\Theta_0=\{\theta_0\}$. [/mm] Sonst habe ich nichts einzuwenden.

Gono?

Bezug
                                                
Bezug
alpha-Fehler: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:03 Fr 12.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Sonst habe ich nichts einzuwenden.
>
> Gono?

ich auch nicht.

Gruß,
Gono


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]