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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Fr 12.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
ich hätte eine Frage zur Reihe [mm] s_{n}= \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}. [/mm] Und zwar is mir völlig unklar, warum man sagt, dass diese Reihe divergiert. Okay, das Leibnizkriterium sagt klar, dass sie divergiert, weil 1 keine Nullfolge ist, aber wenn ich jetzt mal vom rein logischen ausgehe: bei der Reihe wird immer 1-1 =0 summiert. Desweiteren wissen wir, dass die Menge der geraden Zahlen gleichmächtig mit der Menge der ungeraden Zahlen ist (beide Male als Teilmenge der natürlichen Zahlen aufgefasst). Also wird doch genauso oft -1 addiert, wie auch +1 und somit müsste doch die Reihe gegen 0 konvergieren, oder wo liegt mein Denkfehler?
Viele Grüße
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Hallo ms2008de,
> Hallo,
> ich hätte eine Frage zur Reihe [mm]s_{n}= \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}.[/mm]
> Und zwar is mir völlig unklar, warum man sagt, dass diese
> Reihe divergiert. Okay, das Leibnizkriterium sagt klar,
> dass sie divergiert, weil 1 keine Nullfolge ist, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, die Tatsache, dass du hier keine mon. fallende Nullfolge hast, besagt nur, dass Leibniz nicht greift.
> aber wenn
> ich jetzt mal vom rein logischen ausgehe: bei der Reihe
> wird immer 1-1 =0 summiert. Desweiteren wissen wir, dass
> die Menge der geraden Zahlen gleichmächtig mit der Menge
> der ungeraden Zahlen ist (beide Male als Teilmenge der
> natürlichen Zahlen aufgefasst). Also wird doch genauso oft
> -1 addiert, wie auch +1 und somit müsste doch die Reihe
> gegen 0 konvergieren, oder wo liegt mein Denkfehler?
Du darfst bei nicht absolut konvergenten Reihen nicht beliebig umklammern und umordnen ...
Das Problem ist, dass für Konvergenz NOTWENDIGE Bedingung ist, dass die Folge der Reihenglieder, also [mm] $\left([-1^n]\right)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge sein muss, das ist sie aber nicht ...
>
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ms2008de!
Beachte auch die Eigenschaft der Konvergenz für die Reihe. Die Partialsummen lauten hier:
[mm] $$s_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k [/mm] \ : \ 1;0;1;0;1;...$$
Demnach muss ab einem bestimmten Glied [mm] $n_0$ [/mm] jedes Folgenglied beliebig nahe an dem vermeintlichen Grenzwert liegen.
Dies ist aber nicht erfüllt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Fr 12.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Fr 12.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Also könnte ich doch schreiben:
[mm] s_{n}=\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k} \gdw s_{n}= \begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}, [/mm] was trivialerweise divergiert, da [mm] s_{n} [/mm] 2 Häufungspunkte hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Fr 12.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Also könnte ich doch schreiben:
> [mm]s_{n}=\summe_{k=0}^{n} (-1)^{k} \gdw s_{n}= \begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases},[/mm]
> was trivialerweise divergiert, da [mm]s_{n}[/mm] 2 Häufungspunkte
> hat?
Ja.
Es st alles eine Frage des gewählten Zusammenfassens:
(1+(-1))+(1+(-1))+.....=0+0+0+...
oder
1+ (-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+...
Gruß Abakus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 12.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Also um ehrlich zu sein:
Diese Wahl 1+ (-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+... verwirrt mich jetz doch wieder, weil ich ja sagte die Menge der geraden und ungeraden Zahlen sind gleichmächtig. Wenn mans aber so wählt, steht da nun doch eine gerade Zahl mehr als eine ungerade Zahl. Okay, was in den Klammern steht is eben immer gleichmächtig, aber theoretisch müsste doch am Schluss hinter ... ein "-1" ohne +1 stehen, damit die geraden und ungeraden Zahlen auch wirklich gleichmächtig sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Fr 12.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Also um ehrlich zu sein:
> Diese Wahl 1+ (-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+... verwirrt mich
> jetz doch wieder, weil ich ja sagte die Menge der geraden
> und ungeraden Zahlen sind gleichmächtig. Wenn mans aber so
> wählt, steht da nun doch eine gerade Zahl mehr als eine
> ungerade Zahl. Okay, was in den Klammern steht is eben
> immer gleichmächtig, aber theoretisch müsste doch am
> Schluss hinter ... ein "-1" ohne +1 stehen, damit die
Hallo,
das Ganze geht doch bis Unendlich, da gibt es kein "am Schluss"
> geraden und ungeraden Zahlen auch wirklich gleichmächtig
> sind?
Na und? Auch die natürlichen Zahlen und die natürlichen Quadratzahlen sind gleich mächtig, obwohl da "riesige Lücken drin sind". Was ist dagegen schon die Verschiebung einer Klammerung?
Gruß Abakus
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