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Forum "Extremwertprobleme" - analysis seite 105, aufgabe 15
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analysis seite 105, aufgabe 15: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Mo 27.06.2005
Autor: pantoo

ich habe ein großes probleme. ich muss diese aufgabe meiner klasse vorstellen, habe aber keine ahnung wie ich an diese aufgabe heran gehen  und sie berechnen soll.

Aufgabe:
die tragfähigkeit von holzbalken ist proportional zur balkenbreite b und zum quadrat der balkenhöhe h.
a) aus einem zylindrischen baumstamm mit dem radius r soll ein balken maximaler tragfähigkeit herausgeschnitten werden. wie sind breite und höhe zu wählen?
b) wie genau ist die zimmermannsregel?

ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen. ich bedanke mich schon mal im voraus.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Mo 27.06.2005
Autor: informix

Hallo pantoo,
[willkommenmr]
wir freuen uns auch über eine nette Anrede.. ;-)

> ich habe ein großes probleme. ich muss diese aufgabe meiner
> klasse vorstellen, habe aber keine ahnung wie ich an diese
> aufgabe heran gehen  und sie berechnen soll.
>  
> Aufgabe:
>  die tragfähigkeit von holzbalken ist proportional zur
> balkenbreite b und zum quadrat der balkenhöhe h.
>  a) aus einem zylindrischen baumstamm mit dem radius r soll
> ein balken maximaler tragfähigkeit herausgeschnitten
> werden. wie sind breite und höhe zu wählen?
>  b) wie genau ist die zimmermannsregel?
>  

zu a)
Hast du dir schon eine Zeichnung gemacht?
Am besten die Schnittfläche des Baumstamms von vorn mit dem ausgeschnittenen Balken als Rechteck innen drin.
Dann erkennst du am besten, wie die Größen b, h und r zusammenhängen; sie liefern dir die Nebenbedingung.

Nenne die Tragfähigkeit T. Sie soll zu b und zu [mm] h^2 [/mm] proportional sein. Dies liefert dir die Extremalbedingung:
z.B. $T = k * b * [mm] h^2$ [/mm] ; k ist eine Proportionalitätskonstante.

Nun hängt T von zwei Variablen ab, eine davon kannst du mit der Nebenbedingung eliminieren.
Kommst du jetzt allein weiter?

zu b)
Was, bitte, ist die Zimmermannsregel?! [verwirrt]



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Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Fr 10.02.2006
Autor: skipperhb

Hallo,

Ich habe Schwierigkeiten die Gleichung dann abzuleiten bzw. das Maximum für b zu berechnen:

T=K*b(4r²-b²)

T(b) = 4r²-b³
T'(b)=8r-3b²
0=8r-3b² das ergibt dann b=  [mm] \wurzel{8/3r} [/mm] heissen

die korrekte Lösung soll aber b=[mm] \bruch{2}{3}\wurzel{3r} [/mm]

Wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...



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Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: Fehler in Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Sa 11.02.2006
Autor: Roadrunner

Hallo skipperhb,

[willkommenmr] !!


> T=K*b(4r²-b²)
> T(b) = 4r²-b³

[notok] Du hast nicht konsequent ausmultipliziert.

Hier muss es heißen: $T(b) \ = \ [mm] k*\left(4r^2*\red{b}-b^3\right)$ [/mm]


>  T'(b)=8r-3b²

Damit stimmt diese Ableitung auch nicht, denn schließlich musst Du ableiten nach [mm] $\red{b}$ [/mm] , und $r_$ ist als Konstante zu betrachten:

$T'(b) \ = \ [mm] k*\left(4r^2-3b^2\right)$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:26 Sa 11.02.2006
Autor: skipperhb

Vielen Dank Roadrunner

dann kann ich mich jetzt an Aufgabe b) machen :-)

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Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 So 12.02.2006
Autor: skipperhb

Hallo!!!

Jetzt habe ich doch noch ein Problem mit Aufgabe a) und zwar bei der Berechnung des Maximum für h.

T=k*[mm]\wurzel{8/3r}[/mm]*h² (Bmax war:[mm]\wurzel{8/3r}[/mm])
T(h)=[mm]\wurzel{8/3r}[/mm]*h²
T'(h)=[mm]\bruch{4}{3}[/mm][mm]r^{-0.5}[/mm]*2h
T'(h)=[mm]\bruch{\bruch{4}{3}}{ \wurzel{r}}[/mm]*2h

0=[mm]\bruch{\bruch{4}{3}}{ \wurzel{r}}[/mm]*2h
h=[mm] \bruch{ \bruch{4}{3}}{2* \wurzel{r}}[/mm]

Die Lösung scheint mir aber falsch zu sein, oder???

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Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: Rechenweg unklar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 So 12.02.2006
Autor: Roadrunner

Hallo skipper!


Was rechnest Du denn hier bzw. was möchtest Du denn erhalten? Das zugehörige $h_$ zu $b \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}*r$ [/mm] ?


Dann setze doch einfach in die Nebenbedingung ein:

[mm] $h^2 [/mm] \ = \ [mm] 4r^2-b^2 [/mm] \ = \  [mm] 4r^2-\left( \ \bruch{2}{\wurzel{3}}*r \ \right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 4r^2-\bruch{4}{3}*r^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{3}*r^2$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]   $h \ = \ ...$


Gruß vom
Roadrunner


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analysis seite 105, aufgabe 15: Nebenbedingung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Fr 20.06.2008
Autor: Hannacharlotte

Hallo!

Ich verstehe nicht, wie man bei der Aufgabe auf die Nebenbedingung kommt!
Das Quadrat der Höhe soll also
4r²-b²
sein.
Was ist aber r und b - radius und balkenbreite?

Und wenn ich dann die Ableitungen heraus habe, bleiben doch immer noch viel zu viele Variabel übrig, oder?

Kann mir jemand erklären, wie ich zu der Lösung kommen kann und wie sich die Nebenbedingungen herleiten lassen?

Vielen Dank und viele Grüße
Hannacharlotte

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analysis seite 105, aufgabe 15: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:40 Fr 20.06.2008
Autor: leduart

Hallo Hannacharlotte
Hast du ne Zeichnung?
Ziehe vom Mittelpunkt des Kreises einen Radius zu einer Ecke, ausserdem die 2 Linien vom Mittelpunkt zu den Mitten der Seiten.
jetzt hast du ein rechtwinkliges Dreieck, Hypothenuse r, die 2 Katheten h/2 und b/2. Dann Pythagoras.
Gruss leduart

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Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: Zimmermannsregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Di 28.06.2005
Autor: Dreieck

Hi!

>  b) wie genau ist die zimmermannsregel?

fuer solche Probleme gibts gluecklicherweise Suchseiten, wie google, ...

folgenede Zimmermannsregeln kann man z.B. finden: :-)

.) "Dachschindeln aus Lärche halten soviel Jahre wie die Dachneigung in Grade"
.) "Wer über die Schnur haut, den holt der Teufel"
.) "Drei Latten der Laenge 3, 4 und 5 Meter ergeben zusammengenagelt ein rechtwinkliges Dreieck"

Wobei die letzte Regel in Anbetracht des Beispiels am meisten Sinn macht.
Begruenden musst du das aber schon selber

lG
Peter

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analysis seite 105, aufgabe 15: Zimmermannsregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 Di 28.06.2005
Autor: Zwerglein

Hi, pantoo,

die Regel, die ich unter diesem Namen "kenne" (genauer: von ihr gehört habe), ist außerordentlich interessant!
Es handelt sich dabei um die Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Hilfe eines in 12 gleiche Teile unterteilten Seils.
(Der Fünfeckwinkel tritt beim Dachfirst, aber auch im Fachwerk alter Häuser häufig auf; daher war es für Zimmerleute nötig, ihn konstruieren zu können. Ob das heute noch gebraucht wird, weiß ich nicht!)

Ich habe mal einen Vortrag gehört, in dem bewiesen wurde, dass diese Konstruktion EXAKT ist, also keine Näherung - und dies ist doch sehr überraschend!

Leider finde ich auf die Schnelle weder im Internet (google) noch in meinen Ordnern Ausführlicheres darüber.
Aber wenn's in Deinem Buch steht, müsste die Aufgabe doch dort näher erläutert werden!?



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analysis seite 105, aufgabe 15: Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Di 28.06.2005
Autor: Zwerglein

Hi, pantoo,

"habe nun, ach, google studiert mit reichlichem Bemühn, ..."
und bin bei Wikipedia fündig geworden:

[]http://de.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCnfeck

Zwar tritt hier der Name "Zimmermannsregel" oder "Zimmermannskonstruktion" auch nicht auf, aber die hier beschriebene "Konstruktion mit Zirkel und vorgegebenem Schenkel" trifft (so glaub' ich, mich zu erinnern) ziemlich genau eben dieselbe!


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Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: Zimmermannsregel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 Di 28.06.2005
Autor: pantoo

ich habe die zimmermannsregel gefunden, hier ist sie:

Zeichne auf eine kreisförmige Querschnittsfläche des baumstammes einen durchmesser; teile diesen in drei gleich teile; ziehe in jedem teilpunkt die senkrechte zum durchmesser; so ergibt sich der gesuchte balkenquerschnitt.

zeichnung konnte ich leider nicht einfügen.

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Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: Zeichnung einfügen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Di 28.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo pantoo!


[guckstduhier]   FAQ : Grafik einfügen


Gruß vom
Roadrunner


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analysis seite 105, aufgabe 15: zeichnung: zimmermannsregel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Di 28.06.2005
Autor: pantoo

die zeichnung

[Dateianhang nicht öffentlich]


Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: Lösungsideen?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:48 Mi 29.06.2005
Autor: informix

Hallo pantoo,

danke für die Zeichnung.
Hast du nun auch schon eine Antwort auf die Frage, ob die Zimmermannsregel eine gute Näherung für die Balkenaufgabe ist?

Liefert sie dieselben/ähnliche Maße wie die Extremwertaufgabe?


Bezug
                                
Bezug
analysis seite 105, aufgabe 15: noch keine idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Do 30.06.2005
Autor: pantoo

hallo

ich habe die aufgabe a gelöst, komme aber immer noch nicht mit der aufgabe b klar. ich habe auch keinerlei ideen, wie ich an die aufgabe heran gehen soll.
ich hoffe ihr könnt mir wieder  helfen.

scöne grüße pantoo

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analysis seite 105, aufgabe 15: Hilfe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Do 30.06.2005
Autor: Zwerglein

Hi, pantoo,

wenn Du Aufgabe a) gelöst hast, kennst Du jetzt ja die Seiten des Rechtecks und auch seinen Flächeninhalt.
(Ich vermute mal, Du hast sowas wie: [mm] F=\bruch{1}{3}\wurzel{2}d^{2}, [/mm] wobei d der Durchmesser des Balkens ist).

Nun musst Du Seiten bzw. Flächeninhalt des Rechtecks bestimmen, das nach der Zimmermannsregel rauskommt.

Nimm mal zunächst nur das rechtwinklige Dreieck mit der Grundlinie 3a (laut Skizze).
Dann gilt für die Höhe dieses Dreiecks nach dem Höhensatz [mm] (h^{2}=pq): [/mm]
[mm] h^{2} [/mm] = 2a*a = [mm] 2a^{2}; [/mm] demnach: [mm] h=a*\wurzel{2}. [/mm]

Die Fläche dieses Dreiecks ist also:
[mm] F_{Dreieck} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*3a*a*\wurzel{2} [/mm] = [mm] 1,5a^{2}*\wurzel{2} [/mm]
und folglich ist die Fläche des gesamten Rechtecks:

[mm] F=3a^{2}*\wurzel{2} [/mm]

Wenn Du nun noch berücksichtigst, dass d = 3a ist, wirst Du "etwas Erstaunliches" rauskriegen!



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