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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 So 02.01.2005 | | Autor: | ziska |
hallihallo! hänge jetzt schon zwei wochen lang an meinen hausaufgaben fest und komm einfach net weiter bzw bezweifle, ob dat so stimmt. vielleicht könnt ihr mir auch hierbei weiterhelfen?!
aaaaaaalso:
aus anderen teilaufgaben die ergebnisse, an deren richtigkeit ich glaube:
[mm] g_1 [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 0} [/mm] + u* [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
T : [mm] \vec{x}* \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] = 9
f) gesucht ist die spurgerade [mm] g_2 [/mm] in der x/y- ebene: bed: z=0
mein ansatz:
z=0 in T: 2x+ y = 9
y = 9 -2x
x ist frei wählbar, wähle x=1 => [mm] P_1 [/mm] ( 1/ 7 /0)
wähle x=2 => [mm] P_2 [/mm] ( 2/ 5/ 0)
dann habe ich mit der 2-Punkteform einer geraden die vermeintliche gleichung aufgestellt:
[mm] (P_1 [/mm] -> [mm] \vec{x_0}
[/mm]
[mm] g_2: \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 7 \\ 0} [/mm] + u* [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
könnt ihr mir jetzt sagen, ob diese gleichung die spurgerade von T in x/y-ebene ist?
danach soll ich noch [mm] g_2 [/mm] mit [mm] g_1 [/mm] vergleichen und geomentrisch begründen, was ich aber wahrscheinlich selbstständig hinbekommen werde...
die andre aufgabe:
geg: g(k): [mm] \vec{x}= \vektor{9 \\ 0 \\ 0} [/mm] + t* [mm] \vektor{1+2k \\ -2 \\ -2k} [/mm]
k [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] E_1 [/mm] : 2x + y +2z -18 = 0
[mm] \gdw \vec{x}* \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] = 18
a) Ermittle eine Gleichung derjenigen Kugel K, die die ebene [mm] E_1 [/mm] berührt und den Nullpunkt zum Mittelpunkt hat! Welche Koordinaten hat der Berührpunkt B?
mein ansatz:
[mm] \vmat{ \vec{n}} [/mm] = r
K: [mm] \vec{x} [/mm] ^2 = [mm] r^2
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] ; [mm] \vmat{ \vec{n}} [/mm] = 3 =r
=> K: [mm] \vec{x} [/mm] ^2 = 9 ,r=3
g(M, [mm] \vec{n}): \vec{x} [/mm] = t* [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
g in E:
2*2t + t + 2*2t = 18
9t = 18
t = 2
t=2 in g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
bei dieser lösung glaube ich, dass mir irgendwo ein fehler unterlaufen ist bzw der ganze ansatz falsch ist. warum? ich habe die geradengleichung mit der kugelgleichung geschnitten:
4 [mm] t^2 [/mm] + [mm] t^2 [/mm] + [mm] 4t^2 [/mm] = 9
9 [mm] t^2 [/mm] = 9
[mm] t_1 [/mm] = 1 ; [mm] t_2 [/mm] = -1
außerdem habe ich überprüft, ob B element von der Kugel ist, dazu habe ich den punkt in die kreisgleichung eingesetzt:
[mm] 4^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + [mm] 4^2 [/mm] = 9
36 = 9 f.A.
also kann mein lösungsweg nicht stimmen. wo liegt der fehler? wie geh ich die aufgabe richtig an?!?
Lg,
ziska
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 So 02.01.2005 | | Autor: | dominik |
zu f)
Das ist tatsächlich die Spurgerade der Ebene. Weil beide Vektoren als letzte Komponente den Wert 0 haben, liegt diese Gerade in der xy-Ebene.
Die Gleichung y=9-2x war bereits Lösung in der Koordinatenform der gesuchten Geraden!
Zum Vergleich von [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2}:
[/mm]
Beide Geraden verlaufen sicher parallel, da die Richtungsvektoren kollinear sind, hier sogar identisch. Bleibt zu untersuchen, ob [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] "echt" parallel sind oder ob sie sich sogar decken. Idee: ich nehme einen Punkt von [mm] g_{1} [/mm] und schaue, ob er auch auf [mm] g_{2} [/mm] liegt oder nicht:
zB P(2/5/0) liegt auf [mm] g_{1}; [/mm] liegt P auch auf [mm] g_{2}
[/mm]
Also:
[mm] \vektor{2 \\ 5\\ 0}=?\vektor{1 \\ 7\\ 0}+u*\vektor{1 \\ -2\\ 0}
[/mm]
x-Komponente: u=1: 2=1+1; y-Komponente: u=1:5=7-2; z-Komponente 0=0 sowieso in Ordnung.
Da in beiden Fällen u=1 ist, stimmt die ganze Vektorgleichung. Das heisst, P liegt sowohl auf [mm] g_{1} [/mm] als auch auf [mm] g_{2}. [/mm] Also sind die beiden Geraden identisch, oder: beide Gleichungen stellen die selbe Gerade dar.
Zur Kugel:
Ansatz: [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}
[/mm]
Dies ist die Kugelgleichung, falls ihr Mittelpunkt im Nullpunkt liegt. Man braucht also noch den Radius. Deinen Ansatz verstehe ich nicht ganz. Der Radius ist ja nichts anderes als der Abstand des Mittelpunktes M(0/0/0) zur Ebene [mm] E_{1}. [/mm] Stichwort: Hessesche Normalform HNF:
HNF [mm] E_{1}= \bruch{2x+y+2z-18}{ \wurzel{2^{2}+1^{2}+2^{2}}}=0
[/mm]
Für x, y und z setzen wir die Koordinaten des Mittelpunktes ein, also alles Nullen, und die Wurzel im Nenner hat den Wert 3. Damit ergibt sich der Abstand - oder eben der Radius - wie folgt:
[mm] r=\bruch{ \vmat{ -18 }}{3}=6
[/mm]
Damit haben wir die Gleichung der Kugel: [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2}=6^{2}.
[/mm]
Für die Gerade durch den Nullpunkt, die senkrecht zur Ebene verläuft, hast Du alles richtig gemacht; der gesuchte Berührpunkt ist tatsächlich B(4/2/4)! Wenn diese Koordinaten in der Kugelgleichung eingesetzt werden, stimmt die Gleichung:
[mm] 4^{2}+2^{2}+4^{2}=6^{2} \gdw [/mm] 16+4+16=36
Also lag das Problem bei der Bestimmung des Radius der Kugel ...
Viele Grüsse und es guets Neus
dominik
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