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angeordnete Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Mo 08.03.2010
Autor: Mary1986

Aufgabe
Zeigen Sie: [mm]\IQ[/mm] ist ein angeordneter Körper. Wie definieren Sie die Anordnung?

Hallo!

Also ich weiß nicht genau wie ich das allgemein zeigen soll.
Ich weiß dass für einen angeordneten Körper folgendes gilt:
aus [mm]a \le b[/mm] folgt [mm]a+c \le b+c[/mm] und
aus [mm]0 \le a[/mm] und [mm]0 \le b[/mm] folgt [mm]0 \le a*b[/mm]
und ich weiß noch folgendes:
1. [mm]\left| x*y \right|= \left| x \right| * \left| y \right| [/mm]
2. [mm]\left| x \right|= \left| - x \right| \ge 0[/mm]
3. [mm] \left| x \right| + \left| y \right| \ge \left| x+y \right| [/mm] (Dreieckungl)
4. [mm]\left| x- y \right| \ge \left| \left| x \right| - \left| y \right| \right|[/mm]

So aber ich weiß jetzt nicht wie ich das allgemein für die rationalen Zahlen zeigen kann! Wäre nett wenn Ihr mir einen Tip geben könntet.

Viele liebe Grüße
Mary

        
Bezug
angeordnete Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 Mo 08.03.2010
Autor: pelzig

Wie die Elemente von [mm]\IQ[/mm] aussehen, weißt du. Du weißt sicher auch wie die Multiplikation und Addition von Elementen aus [mm]\IQ[/mm] definiert ist, und dass [mm]\IQ[/mm] damit zu einem Körper wird. Die Anordnung ist definiert durch [mm] $$\frac{m}{n}\le\frac{p}{q}\gdw_\text{Def} mq-np\le [/mm] 0$$ Nun zeige dass diese Relation wohldefiniert ist (d.h. nicht von der Wahl des Repräsentanten der Brüche abhängt) und dass [mm]\IQ[/mm] damit zu einem angeordneten Körper wird.

Gruß, Robert

Bezug
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