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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Do 10.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei K ein angeordneter Körper. Beweise: [mm] $|x-y|\ge [/mm] ||x|-|y||$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$. Warum gilt auch [mm] $|x+y|\ge [/mm] ||x|-|y||$ ? |
Hallo,
Behauptung: [mm] $|x-y|\ge||x|-|y||$ $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
Beweis:
Fallunterscheidung:
1. $x>0 [mm] \wedge [/mm] y>0; x>y$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
$|x|=x, |y|=y, |x-y|=x-y$
[mm] $\Rightarrow |x-y|\ge [/mm] ||x|-|y||=|x-y|
2. $x>0 [mm] \wedge [/mm] y>0; x<y$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
$|x|=x, |y|=y, |x-y|=-(x-y)=y-x$
[mm] $\Rightarrow |x-y|\ge [/mm] ||x|-|y||=|x-y|
3. $x>0 [mm] \wedge [/mm] y<0$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
$|x|=x, |y|=-y, |x-y|=x-y$
[mm] $\Rightarrow x-y=|x-y|\ge [/mm] ||x|-|y||=|x+y|=x+y$
4.$x<0 [mm] \wedge [/mm] y>0$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
$|x|=-x, |y|=y, |x-y|=y-x$
[mm] $\Rightarrow y-x=|x-y|\ge [/mm] ||x|-|y||=|y-x|=y-x$
5. $x<0 [mm] \wedge [/mm] y<0; x>y$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
$|x|=-x, |y|=-y, |x-y|=x-y$
[mm] $\Rightarrow |x-y|=x-y\ge [/mm] ||x|-|y||=|y-x|=x-y$
6. $x<0 [mm] \wedge [/mm] y<0; x<y$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
$|x|=-x, |y|=-y, |x-y|=y-x$
[mm] $\Rightarrow [/mm] |x-y|=y-x [mm] \ge [/mm] ||x|-|y||=|y-x|=y-x$
Stimmt das sO?
> Warum gilt auch [mm] $|x+y|\ge [/mm] ||x|-|y||$ ?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hi,
> Sei K ein angeordneter Körper. Beweise: [mm]|x-y|\ge ||x|-|y||[/mm]
> [mm]\forall x,y \in K[/mm]. Warum gilt auch [mm]|x+y|\ge ||x|-|y||[/mm] ?
> Hallo,
>
> Behauptung: [mm]|x-y|\ge||x|-|y||[/mm] [mm]\forall x,y \in K[/mm]
>
> Beweis:
>
> Fallunterscheidung:
> 1. [mm]x>0 \wedge y>0; x>y[/mm] [mm]\forall x,y \in K[/mm]
> [mm]|x|=x, |y|=y, |x-y|=x-y[/mm]
>
> [mm]$\Rightarrow |x-y|\ge[/mm] ||x|-|y||=|x-y|
>
> 2. [mm]x>0 \wedge y>0; x
> [mm]|x|=x, |y|=y, |x-y|=-(x-y)=y-x[/mm]
>
> [mm]$\Rightarrow |x-y|\ge[/mm] ||x|-|y||=|x-y|
Die ersten beiden Fälle kannst du schon einmal zusammenlegen. ||x|-|y|| ist ja für beide Fälle |x-y|
>
> 3. [mm]x>0 \wedge y<0[/mm] [mm]\forall x,y \in K[/mm]
> [mm]|x|=x, |y|=-y, |x-y| =x-y[/mm]
> [mm]\Rightarrow x-y=|x-y|\ge ||x|-|y||=|x+y| \red{=}x+y[/mm]
Bei dem rot markierten "=" solltest du dir noch einmal Gedanken machen: Was passiert bei |y|>|x|?
>
> 4.[mm]x<0 \wedge y>0[/mm] [mm]\forall x,y \in K[/mm]
> [mm]|x|=-x, |y|=y, |x-y|=y-x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y-x=|x-y|\ge ||x|-|y||\red{=}|y-x|=y-x[/mm]
Es gilt hier ||x|-|y||=|-x-y|=|x+y|. Also auch wieder 3. und 4. Fall zusammenlegen. Zeige noch [mm] |x-y|\geq|x+y| [/mm] für diesen Fall.
> 5. [mm]x<0 \wedge y<0; x>y[/mm] [mm]\forall x,y \in K[/mm]
> [mm]|x|=-x, |y|=-y, |x-y|=x-y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |x-y|=x-y\ge ||x|-|y||=|y-x|=x-y[/mm]
>
> 6. [mm]x<0 \wedge y<0; x
> [mm]|x|=-x, |y|=-y, |x-y|=y-x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |x-y|=y-x \ge ||x|-|y||=|y-x|=y-x[/mm]
Fälle 5 und 6 sind analog zu Fall 1 und 2 und kannst du auch zusammenziehen. Hab die Fälle deswegen nicht noch einmal kontrolliert.
Zur Analogie: Alle Beträge bleiben gleich, wenn man zu gegebenen x und y die Zahlen x'=-x, y'=-y betrachtet - salopp.
>
> Stimmt das sO?
Irgendwo solltest du auch noch den Fall x=y unterbringen
>
> > Warum gilt auch [mm]|x+y|\ge ||x|-|y||[/mm] ?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
Insgesamt kannst du die FU also viel einfacher machen
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
Gruß,
Kamaleonti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Do 10.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Für den Schüler der Klasse 1 Grundschule, Weihnachtsinseln und für alle die es interessiert: es geht einfacher:
$|x|=|x-y+y| [mm] \le [/mm] |x-y|+|y|$,
also
(1) $|x|-|y| [mm] \le [/mm] |x-y|$.
Genauso zeigt man:
(2) $|y|-|x| [mm] \le [/mm] |x-y|$.
Aus (1) und (2) folgt die Behauptung.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 10.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti und fred,
> Zusammenlegen
Ist das so richtig "zusammengelegt"?
1. $ x>0 [mm] \wedge [/mm] y>0$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
$|x|=x, |y|=y$
[mm] $\Rightarrow |x-y|\ge [/mm] ||x|-|y||=|x-y|
2. $(x<0 [mm] \wedge [/mm] y>0) [mm] \vee [/mm] (x>0 [mm] \wedge [/mm] y <0)$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
$|x|=-x, |y|=y$
[mm] $\Rightarrow |x-y|\ge [/mm] ||x|-|y||=|-x-y|=|x+y|$
$x-y=n; x+y=m; [mm] m\le [/mm] n$
3.$x<0 [mm] \wedge [/mm] y<0$ [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] K$
$|x|=-x, |y|=-y, $
[mm] $\Rightarrow |x-y|\ge [/mm] ||x|-|y||=|-x+y|=|x-y|$
Danke!
> es geht einfacher
Danke.
Gruss
kushkush
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Hallo
> > Zusammenlegen
>
> Ist das so richtig "zusammengelegt"?
>
> 1. [mm]x>0 \wedge y>0[/mm] [mm]\forall x,y \in K[/mm]
> [mm]|x|=x, |y|=y[/mm]
>
> [mm]$\Rightarrow |x-y|\ge[/mm] ||x|-|y||=|x-y|
>
Ok.
> 2. [mm](x<0 \wedge y>0) \vee (x>0 \wedge y <0)[/mm] [mm]\forall x,y \in K[/mm]
>
> [mm]|x|=-x, |y|=y[/mm]
Nein, das kannst du hier nicht direkt angeben, du weißt nur, dass sich bei einem das Vorzeichen umkehrt
> [mm]\Rightarrow |x-y|\ge ||x|-|y||=|-x-y|=|x+y|[/mm]
>
> [mm]x-y=n; x+y=m; m\le n[/mm]
Hier beweist du noch gar nicht, dass [mm] |x-y|\geq|x+y|. [/mm]
Dazu müsstest du schon noch einmal auf die Unterfälle eingehen. Ich empfehle dir aber einfach Freds Lösung zu nehmen. Fallunterscheidung ist immer das letzte Mittel, es ist besser und eleganter auf etwas bekanntes zurückzuführen.
Allgemein fehlen in deiner FU auch noch ganz viele Fälle, da du immer nur scharfe Relationen verwendest
>
> 3.[mm]x<0 \wedge y<0[/mm] [mm]\forall x,y \in K[/mm]
> [mm]|x|=-x, |y|=-y,[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |x-y|\ge ||x|-|y||=|-x+y|=|x-y|[/mm]
>
Ok.
Gruß
Kamaleonti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Sa 12.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
Danke vielmals.
Gruss
kushkush
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