anschaulicher Beweis: Abstände zwischen Quadratzahlen erhöhen sich immer um 2 < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:28 So 27.06.2004 | | Autor: | Nina |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe: Ich benötige einen anschaulichen Beweis (möglichst für Grundschüler und auch keine vollständige Induktion, sondern eher graphisch - s.u.), um zu zeigen, dass sich die Zwischenräume zwischen den Quadratzahlen immer um 2 Schritte erhöhen.
Habe ich die Quadratzahl 9 (3x3) dargestellt:
X X X
X X X
X X X
möchte auf die nächste Q-zahl 16 kommen, muss ich z.B. rechts 3 Steine anbauen und unten drei Steine:
X X X M
X X X M
X X X M
M M M
man sieht, dass aus jedem x ein M "gebildet" werden kann, aus einem X, jedoch 2 Ms gebildet werden, hier einmal mit C gekennzeichnet
X X X M
X X X M
X X C M
M M M
jetzt wird auch noch unten ein N als neuer Stein angebaut, so ist das Quadrat erst vollständig.
X X X M
X X X M
X X X M
M M M N
Anhand dieser Dinge soll ich nun beweisen können, dass man immer 2 Schritte hat zwischen den Abständen zwischen den Q-zahlen. Wie kann ich dies sinnvoll begründen?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 So 27.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nina,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo!
> Ich habe folgende Aufgabe: Ich benötige einen
> anschaulichen Beweis (möglichst für Grundschüler und auch
> keine vollständige Induktion, sondern eher graphisch -
> s.u.), um zu zeigen, dass sich die Zwischenräume zwischen
> den Quadratzahlen immer um 2 Schritte erhöhen.
>
> Habe ich die Quadratzahl 9 (3x3) dargestellt:
> X X X
> X X X
> X X X
>
> möchte auf die nächste Q-zahl 16 kommen, muss ich z.B.
> rechts 3 Steine anbauen und unten drei Steine:
>
> X X X M
> X X X M
> X X X M
> M M M
Okay, das verstehe ich.
> man sieht, dass aus jedem x ein M "gebildet" werden kann,
> aus einem X, jedoch 2 Ms gebildet werden, hier einmal mit C
> gekennzeichnet
>
> X X X M
> X X X M
> X X C M
> M M M
Das verstehe ich gar nicht, worauf du hier hinaus willst.
Das mit "aus jedem X ein M" und dann "aus einem X jedoch 2 Ms" ist mir nicht klar.
>
> jetzt wird auch noch unten ein N als neuer Stein angebaut,
> so ist das Quadrat erst vollständig.
> X X X M
> X X X M
> X X X M
> M M M N
>
> Anhand dieser Dinge soll ich nun beweisen können, dass man
> immer 2 Schritte hat zwischen den Abständen zwischen den
> Q-zahlen. Wie kann ich dies sinnvoll begründen?
Das mit den 2 Schritten wurde mir gar nicht deutlich. Wo finde ich oben denn 2 Schritte?
Könntest du das bitte noch mal näher erläutern?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 So 27.06.2004 | | Autor: | Nina |
Ich glaube ich weiß jetzt, wies gemeint war! Und zwar wenn ich den Induktionsbeweis habe, der ja schlussendlich sagt:
[mm] 1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=n^2+(2n+1)
[/mm]
kann ich das darstellen:
x x x
x x x
x x x für [mm] 3^2
[/mm]
also ist hier beim nächsten Quadrat 2n+1 dazu zu tun, d.h. an 2 Seiten des bestehenden Quadrats jeweils 3 x e dazu reihen ( rechts und unten)
dann sieht es so aus:
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
also ist jetzt zu dem [mm] n^2 [/mm] 2n dazu gekommen, jetzt fehlt nur noch das +1 dargestellt, und das wird der Eckstein unten sein, der noch zum Quadrat fehlt.
Die zwei Schritte, die also gesucht waren, werden dann einmal der Eckstein sein und zum anderen einer der Steine, die den vorhergegangenen Eckstein amrahmen nach Außen, das heißt, dass einmal der Eckstein M (s.u.) ein Schritt ist und der zweite Schritt entweder der Stein C oder D (s.u.) - jedoch ist das nur ein schritt C ODER D, weil vom vorhergegangenen Eckstein ja 2 Steine ausgehen, also doppelt gezählt werden.
X X X X
X X X X
X X X C
X X D M
kann das sein????
Viele liebe Grüße und danke...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nina,
> Ich glaube ich weiß jetzt, wies gemeint war! Und zwar wenn
> ich den Induktionsbeweis habe, der ja schlussendlich
> sagt:
> [mm]1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=n^2+(2n+1)
[/mm]
Was hat denn jetzt die Summe der ungeraden Zahlen mit unserem Problem zu tun?
Mir ist immer noch nicht klar, was eigentlich zu zeigen ist; ist dies vielleicht Teil einer anderen Aufgabe?
Es muß doch eine ganz klare Fragestellung geben, sie soll sich doch an Grundschüler richten.
> Die zwei Schritte, die also gesucht waren, werden dann
> einmal der Eckstein sein und zum anderen einer der Steine,
> die den vorhergegangenen Eckstein amrahmen nach Außen, das
> heißt, dass einmal der Eckstein M (s.u.) ein Schritt ist
> und der zweite Schritt entweder der Stein C oder D (s.u.) -
> jedoch ist das nur ein schritt C ODER D, weil vom
> vorhergegangenen Eckstein ja 2 Steine ausgehen, also
> doppelt gezählt werden.
>
> X X X X
> X X X X
> X X X C
> X X D M
>
> kann das sein????
Die zwei Schritte sind mir immer noch nicht klar.
Was ich bisher verstanden habe, ist, wie man von [mm] $n^2$ [/mm] zu [mm] $(n+1)^2$ [/mm] kommt, wie viele Randsteine man dazulegen muß:
Erst über eine gesamte Länge und Breite Randsteine dazulegen, das sind 2n Steine.
Plus einen Eckstein, also:
[mm] $(n+1)^2=n^2+2n+1$
[/mm]
Vielleicht beziehen sich die zwei Schritte ja auf den Beweis selbst, dass dieser also zweischrittig geführt werden muß (wie vielleicht bei einem Innduktionsbeweis: I-Anfang und I-Schritt?).
Wenn möglich, poste doch bitte mal die genaue Aufgabenstellung, in ihrem gesamten Kontext 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Nina |
Hallo Marc!
Danke erstmal für deine Hilfen, wobei wir uns wohl immer noch nicht ganz verstanden haben, was die Aufgabe angeht. Also das mit der Induktion ist ganz richtig, dass wir von [mm] n^2 [/mm] auf [mm] (n+1)^2 [/mm] kommen, das hast du auch nach meiner Erklärung verstanden. Die ungeraden Zahlen bei der Induktion (1+3+5...) ergeben sich ja daraus, dass es nur um die Zwischenräume zwischen den Quadratzahlen geht, und diese Zahlen sind nun mal immer ungerade (zwischen zwischen 4 und 9=5 und zwischen 9 und 16 =7 - jedoch die ungeraden Zahlen, also die Zwischenräume, werden ja immer um 2 Schritte größer (ein schritt größer wären ja gerade Zahlen). Und warum es eine Folge ungerader Zahlen ist, das soll ich anhand so einer Zeichnung mit Kästchen (die bei mir immer x waren) beweisen.
Ich glaube ich weiß jetzt, wies gemeint war! Und zwar wenn ich den Induktionsbeweis habe, der ja schlussendlich sagt:
[mm] 1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=n^2+(2n+1)
[/mm]
kann ich das darstellen:
x x x
x x x
x x x für [mm] 3^2
[/mm]
also ist hier beim nächsten Quadrat 2n+1 dazu zu tun, d.h. an 2 Seiten des bestehenden Quadrats jeweils 3 x e dazu reihen ( rechts und unten)
dann sieht es so aus:
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
also ist jetzt zu dem [mm] n^2 [/mm] 2n dazu gekommen, jetzt fehlt nur noch das +1 dargestellt, und das wird der Eckstein unten sein, der noch zum Quadrat fehlt.
Die zwei Schritte, die also gesucht waren, werden dann einmal der Eckstein sein und zum anderen einer der Steine, die den vorhergegangenen Eckstein amrahmen nach Außen, das heißt, dass einmal der Eckstein M (s.u.) ein Schritt ist und der zweite Schritt entweder der Stein C oder D (s.u.) - jedoch ist das nur ein schritt C ODER D, weil vom vorhergegangenen Eckstein ja 2 Steine ausgehen, also doppelt gezählt werden.
X X X X
X X X X
X X X C
X X D M
kann das sein????
Viele liebe Grüße und danke...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nina,
> Danke erstmal für deine Hilfen, wobei wir uns wohl immer
> noch nicht ganz verstanden haben, was die Aufgabe angeht.
> Also das mit der Induktion ist ganz richtig, dass wir von
> [mm]n^2[/mm] auf [mm](n+1)^2[/mm] kommen, das hast du auch nach meiner
> Erklärung verstanden. Die ungeraden Zahlen bei der
> Induktion (1+3+5...) ergeben sich ja daraus, dass es nur um
> die Zwischenräume zwischen den Quadratzahlen geht, und
> diese Zahlen sind nun mal immer ungerade (zwischen zwischen
> 4 und 9=5 und zwischen 9 und 16 =7 - jedoch die ungeraden
> Zahlen, also die Zwischenräume, werden ja immer um 2
> Schritte größer (ein schritt größer wären ja gerade
> Zahlen). Und warum es eine Folge ungerader Zahlen ist, das
> soll ich anhand so einer Zeichnung mit Kästchen (die bei
> mir immer x waren) beweisen.
So langsam verstehe ich es
Es scheint also zu zeigen zu sein, warum bei der Erweiterung eines Quadrates 2 Kästchen mehr dazu kommen als bei der (vorherigen) Erweiterung zu diesem Quadrat, warum also sich also tatsächlich die Summe der ungeraden Zahlen (die ja den Abstand 2 haben) ergibt.
Dazu müßtest du aber 2 Quadraterweiterungen zu Rate heranziehen, denn die 2 Schritte beziehen sich ja von einer Quadraterweiterung zur nächsten.
Dann will ich auch mal eine ASCII-Grafik probieren:
3 x 3
X X X
X X X
X X X
Erweitern auf 4 x 4
X X X X
X X X X
X X X X
X X X X
Erweitern auf 5x 5
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X X X X X
Der Vergleich der blauen und roten Kästchen ergibt, dass es zwei blaue Kästchen mehr sind als rote; diese Kästchen markiere ich mal grün:
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X X X X X
Genauso gut hätte ich auch diese markieren können, suche dir das aus, woran man die Erweiterung besser erklären kann:
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X X X X X
X X X X X
So, ich hoffe, das hast du mir nicht vorher schon mal versucht zu erklären, mit deinen Grafiken, aber ich habe es jetzt erst verstanden
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Nina |
Hallöchen!
Danke danke danke! Ich habs nun verstanden und kann es anwenden! Danke für die schnellen Hilfen hier...fantastisch hier!
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