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arith. Form radizieren: Aufgabenkorrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mi 23.11.2011
Autor: Malte89

Aufgabe
Für die folgende komplexe Zahl z ist jeweils die arithmetische und die exponentielle (Eulersche Darstellung) anzugeben: [mm] z^4 = 2-2i [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Lösung vom Prof für $z_0 = \sqrt[8]{8}e^{-\frac{\pi}{16}i}$ und für $z_1 = \sqrt[8]{8}e^{\frac{7}{16}\pi i}$

Ok, ich hab die Formelsammlung aufgeschlagen und nach der Formel von Moivre: $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{re^{i \varphi}} = \sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi + k \cdot 2\pi}{n}$.
Dann setz ich jetzt mal ein. Ich geh davon aus, dass bei $z_0$:
$k = 1$ und $n=4$
Dann komme ich auf $z_0=\sqrt[8]{8}e^{\frac{\frac{7}{4}+0\cdot \2pi}{4}}$ und komme auf $z_0=\sqrt [8]{8}^{\frac{7}{16}\pi i}$

Maaaan, seht ihr mein Problem:-D? Für einen kleinen Kick wäre ich echt dankbar!

Viele liebe Grüße

Malte

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
arith. Form radizieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 Mi 23.11.2011
Autor: fred97


> Für die folgende komplexe Zahl z ist jeweils die
> arithmetische und die exponentielle (Eulersche Darstellung)
> anzugeben: [mm]z^4 = 2-2i[/mm] Lösung vom Prof für [mm]z_0 = \sqrt[8]{8}e^{-\frac{\pi}{16}i}[/mm]
> und für [mm]z_1 = \sqrt[8]{8}e^{\frac{7}{16}\pi i}[/mm]
>  Ok, ich
> hab die Formelsammlung aufgeschlagen und nach der Formel
> von Moivre: [mm]\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{re^{i \varphi}} = \sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi + k \cdot 2\pi}{n}[/mm].
>  
> Dann setz ich jetzt mal ein. Ich geh davon aus, dass bei
> [mm]z_0[/mm]:
>  [mm]k = 1[/mm] und [mm]n=4[/mm]
> Dann komme ich auf
> [mm]z_0=\sqrt[8]{8}e^{\frac{\frac{7}{4}+0\cdot \2pi}{4}}[/mm] und
> komme auf [mm]z_0=\sqrt [8]{8}^{\frac{7}{16}\pi i}[/mm]
>  
> Maaaan, seht ihr mein Problem:-D?

Ja. Aber ich kann Dich beruhigen: Du hast nichts falsch gemacht, Dein Prof. aber auch nichts.

Das Argument einer komplexen Zahl  w, also das [mm] \varphi [/mm] in der Darstellung

   $w= [mm] |w|*e^{i \varphi}$ [/mm]

ist natürlich nicht eindeutig bestimmt. Denn es gilt.

                $w= [mm] |w|*e^{i \varphi}= |w|*e^{i (\varphi+2k \pi)}$ [/mm]  für jedes k [mm] \in \IZ. [/mm]

In obiger Aufgabe ist w=2-2i.

Ein Argument von w ist [mm] $\bruch{7}{4}* \pi$. [/mm] Das hast Du benutzt.

Ein weiteres Argument von w ist [mm] $-\bruch{1}{4}* \pi$. [/mm] Das hat Dein Prof. benutzt.

                     [mm] $-\bruch{1}{4}* \pi+2 \pi [/mm] = [mm] \bruch{7}{4}* \pi$ [/mm]

FRED

> Für einen kleinen Kick
> wäre ich echt dankbar!
>
> Viele liebe Grüße
>  
> Malte
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
arith. Form radizieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 Mi 23.11.2011
Autor: Malte89

achja! stimmt ja! vielen Dank Fred!!!! sehr nette Hilfe

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