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arithmetische Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Mi 07.10.2009
Autor: lisa11

Aufgabe
Folge [mm] a_{k} [/mm]  mit k = 1,2,3,4,... mit [mm] a_{12}=100 [/mm] und [mm] a_{20} [/mm] = 200

Berechnen Sie die Differenz d und das Anfangsglied [mm] a_1 [/mm]

Formel dafür [mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] +(n-1)*d

[mm] S_{n}= \frac{n}{2}[2*a_{1}+(n-1)*d] [/mm]



aber wie kann ich daraus d ausrechen?

        
Bezug
arithmetische Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Mi 07.10.2009
Autor: Gabs

Du hast [mm] a_{12} [/mm] gegeben.
Überlege, wie oft du d addieren mußt, um [mm] a_{20} [/mm] zu erhalten. Stelle eine Gleichung auf!
[mm] a_{20}=a_{12}+k*d [/mm]
Löse nach d auf!
Dann überlege, wie oft Du d subtrahieren mußt, um ausgehend von [mm] a_{12}, [/mm] das Anfangsglied [mm] a_{1} [/mm] zu erhalten.

Bezug
                
Bezug
arithmetische Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Mi 07.10.2009
Autor: lisa11

somit habe ich 2 gleichungen die ich nach a1 auflöse ?


[mm] a_{20} [/mm] = [mm] a_{12} [/mm] +8*d
[mm] a_{1}= a_{12}-11*d [/mm]


Bezug
                        
Bezug
arithmetische Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Mi 07.10.2009
Autor: Steffi21

Hallo, so ist es, mit der 1. Gleichung d berechnen, die zweite Gleichung brauchst du doch nicht nach [mm] a_1 [/mm] auflösen (umstellen), setzte d ein, [mm] a_1_2 [/mm] kennst du auch, Steffi

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arithmetische Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Mi 07.10.2009
Autor: Gabs

Setze doch in die erste Gleichung die gegebenen Zahlen ein!

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arithmetische Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Mi 07.10.2009
Autor: lisa11

habe es gemacht und es stimmt

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arithmetische Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Mi 07.10.2009
Autor: lisa11

[mm] a_{1000}= a_{1}+(1000-1)*d [/mm]

kann dies stimmen

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arithmetische Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 Mi 07.10.2009
Autor: Gabs

Dies stimmt, aber Du sollst doch [mm] a_1 [/mm] berechnen, oder nicht?

Bezug
                                        
Bezug
arithmetische Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Mi 07.10.2009
Autor: lisa11

ja richtig aber auch [mm] a_{1000} [/mm]

[mm] a_{1} [/mm] ist 75/2

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arithmetische Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Mi 07.10.2009
Autor: Steffi21

Hallo, hier solltest du dein Vorzeichen überprüfen, Steffi

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arithmetische Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:23 Mi 07.10.2009
Autor: lisa11

upps minus

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arithmetische Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Mi 07.10.2009
Autor: abakus


> Folge [mm]a_{k}[/mm]  mit k = 1,2,3,4,... mit [mm]a_{12}=100[/mm] und [mm]a_{20}[/mm]
> = 200
>  
> Berechnen Sie die Differenz d und das Anfangsglied [mm]a_1[/mm]
>  Formel dafür [mm]a_{n}[/mm] = [mm]a_{1}[/mm] +(n-1)*d
>  
> [mm]S_{n}= \frac{n}{2}[2*a_{1}+(n-1)*d][/mm]
>  
>
>
> aber wie kann ich daraus d ausrechen?

Schreibe die Formel mit einem nicht wasserlöslichen Permanentmarker auf ein A4-Blatt (Papierstärke 80g/cm²).
Stecke das Blatt in einem Umschlag im Format C6.
Nimm ein BiC-Feuerzeug und verbrenne den Umschlag samt Inhalt.

Und jetzt kannst du - unbelastet von jeder Formel- das Gehirn einschalten.
Von [mm] a_{12} [/mm] bis [mm] a_{20} [/mm] - das sind 8 Schritte - steigt der Wert von 100 auf 200 (also um 100).
Wenn die Folgenglieder in 8 Schritten um 100 steigen, dann ist jedes Glied um 12,5 größer als das vorherige- schon hast du "d".
[mm] a_1 [/mm] liegt 11 Glieder vor [mm] a_{12}. [/mm] Du musst also von [mm] a_{12} [/mm] elfmal 12,5 subtrahieren, um auf [mm] a_1 [/mm] zu kommen.
Gruß Abakus


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arithmetische Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:39 Mi 07.10.2009
Autor: lisa11

das problem ist ich bin unter druck und extrem müde aber ich habe es gelöst....

Bezug
        
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arithmetische Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Mi 07.10.2009
Autor: lisa11

Aufgabe
Berechne [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=27}^{330} a_{k} [/mm]

ich kenne [mm] a_{12} [/mm] = 100 und [mm] a_{20}= [/mm] 200

muss ich das jedes Glied eines rechnen und dann aufsummieren oder
kann ich das kürzer machen?

Bezug
                
Bezug
arithmetische Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Mi 07.10.2009
Autor: abakus


> Berechne [mm]S_{n}[/mm] = [mm]\summe_{i=27}^{330} a_{k}[/mm]
>  
> ich kenne [mm]a_{12}[/mm] = 100 und [mm]a_{20}=[/mm] 200

Du kennst auch [mm] a_1 [/mm] und d. Bitte setze nicht nur neue Threads in die Welt, sondern lies auch die alten.

Ansonsten gilt
[mm] S_n=a_{27}+a_{28}+...+a_{329}+a_{330} [/mm] ebenso wie in umgekehrter Reihenfolge
[mm] S_n=a_{330}+a_{329}+...+a_{28}+a_{27} [/mm]
Diese beiden Summen kannst du paarweise zusammenfassen:
[mm] 2*S_n=(a_{330}+a_{27})+(a_{329}+a_{28})+...+(a_{28}+a_{329})+(a_{27}+a_{330}) [/mm]
Wie du schnell bemerken wirst, haben alle Klammern die gleiche Summe.
Gruß Abakus

>  muss ich das jedes Glied eines rechnen und dann
> aufsummieren oder
>  kann ich das kürzer machen?


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arithmetische Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Mi 07.10.2009
Autor: lisa11

gut dann kann ich die Anzahl der Paare zählen
nach der Formel wie oben [mm] a_{330}+a_{27} [/mm] rechen und das mit der Anzahl der Paare multiplizieren und dann durch 2 dividieren...

gruss
lisa

Bezug
                                
Bezug
arithmetische Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Mi 07.10.2009
Autor: abakus


> gut dann kann ich die Anzahl der Paare zählen
> nach der Formel wie oben [mm]a_{330}+a_{27}[/mm] rechen und das mit
> der Anzahl der Paare multiplizieren und dann durch 2
> dividieren...
>  

[ok]

> gruss
>  lisa


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arithmetische Folge: Alternative
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Mi 07.10.2009
Autor: Loddar

Hallo Lisa!


Du kannst hier auch wie folgt vorgehen:
[mm] $$\summe_{k=1}^{330}a_k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{26}a_k+\blue{\summe_{k=27}^{330}a_k}$$ [/mm]
Stelle nach dem gesuchten (= blauen) Term und und wende auf die anderen beiden Summe jeweils die Summenformel für arithmetische Folgen an.

Gruß
Loddar


PS: in der von Dir dargestellten Form [mm] $\summe_{i=27}^{330}a_{k}$ [/mm] würde die Lösung auch [mm] $304*a_k$ [/mm] lauten.
Also bemühe Dich um korrekte Schreibweise ...


Bezug
                
Bezug
arithmetische Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:52 Mi 07.10.2009
Autor: Gabs

Nimm doch die Summenformel für arithmetische Reihen!
Rechne [mm] a_{27} [/mm] aus!
Berechne wie oft Du d zu [mm] a_{27} [/mm] addieren mußt! (n=330-26=302)
minus 26 deshalb, weil [mm] a_{27} [/mm] noch mit dabei ist.
Dann hast du auch das Ergebnis.

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