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| Aufgabe | Vor: Sei n [mm] \in \IN [/mm] und p eine Primzahl. Es gelte [mm] n+1=(p+1)^2, [/mm]
[mm] \sigma(n) [/mm] = (p+1)(p+3) und [mm] \phi(n) [/mm] = (p-1)(p+1)
Beh: [mm] \sigma(n)\phi(n) [/mm] = (n+1)(n-3) |
Meine Frage
Wie komme ich auf das Endergebnis?
Ich habe den Rechenweg von vorne nach hinten und von hinten nach vorne durchgerechnet und bin bislang so weit:
[mm] \sigma(n)\phi(n) [/mm] = (p+1)(p+3)(p-1)(p+1)
= (p+1)(p+1)(p+3)(p-1) , geht da die Multiplikation kommutativ ist
= [mm] (p+1)^2 [/mm] [(p+3)(p-1)] , erstetze nach Vor. [mm] (n+1=(p+1)^2)
[/mm]
= (n+1) [mm] [(p^2 [/mm] - p + 3p - 3)]
= (n+1) [...???...]
= (n+1)(n-3)
Ist das bis hierhin richtig?
Die 1. Klammer der Behauptung habe ich damit, aber wie komme ich auf die 2. Klammer?
Meine Idee zur Lösung:
= (n+1) [mm] [(p^2 [/mm] +2p - 3)] nutze quadratische Ergänzung
= (n+1) [mm] [(p^2 [/mm] + 2p -3 +4 -4)]
= ... [mm] [((p+1)^2 [/mm] -4)] erstetze nach Vor. [mm] (n+1=(p+1)^2)
[/mm]
= (n+1) ((n+1)-4)
= (n+1) (n-3).
Ist das korrekt?
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Hallo Knuddelbunti,
> Vor: Sei n [mm]\in \IN[/mm] und p eine Primzahl. Es gelte
> [mm]n+1=(p+1)^2,[/mm]
> [mm]\sigma(n)[/mm] = (p+1)(p+3) und [mm]\phi(n)[/mm] = (p-1)(p+1)
>
> Beh: [mm]\sigma(n)\phi(n)[/mm] = (n+1)(n-3)
> Meine Frage
>
> Wie komme ich auf das Endergebnis?
>
> Ich habe den Rechenweg von vorne nach hinten und von hinten
> nach vorne durchgerechnet und bin bislang so weit:
>
>
> [mm]\sigma(n)\phi(n)[/mm] = (p+1)(p+3)(p-1)(p+1)
> = (p+1)(p+1)(p+3)(p-1) , geht da die Multiplikation
> kommutativ ist
> = [mm](p+1)^2[/mm] [(p+3)(p-1)] , erstetze nach Vor. [mm](n+1=(p+1)^2)[/mm]
> = (n+1) [mm][(p^2[/mm] - p + 3p - 3)]
> = (n+1) [...???...]
> = (n+1)(n-3)
> Ist das bis hierhin richtig?
>
> Die 1. Klammer der Behauptung habe ich damit, aber wie
> komme ich auf die 2. Klammer?
>
> Meine Idee zur Lösung:
> = (n+1) [mm][(p^2[/mm] +2p - 3)] nutze quadratische Ergänzung
> = (n+1) [mm][(p^2[/mm] + 2p -3 +4 -4)]
> = ... [mm][((p+1)^2[/mm] -4)] erstetze nach Vor.
> [mm](n+1=(p+1)^2)[/mm]
> = (n+1) ((n+1)-4)
> = (n+1) (n-3).
>
> Ist das korrekt?
Ja, das ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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