arithmetische Geestze Z Z_n < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Fr 11.03.2005 | | Autor: | carlito |
Hi,
ich würde gern wissen, wieso sich die arithmetischen Gesetze von Z auf [mm] Z_n [/mm] übertragen?
Ich bin gerade dabei, den Beweis zu verstehn, wieso Z_prim Körper sind.
Deswegen ist mir das sehr wichtig.
Grüsse,
carltio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Naja, das liegt einfach daran, dass die Operationen in [mm] $\IZ_n$ [/mm] eben gerade repräsentantenweise definiert sind!
Nehmen wir mal das Assoziativgesetz der Addition.
Ich bezeichne die Klasse von $a$ in [mm] $\IZ_n$ [/mm] mit $[a]$.
Dann gilt doch:
$([a] + [b]) + [c]$
$=[a+b] + [c]$
(nach Definition der Additon in [mm] $\IZ_n$ [/mm] über die Repräesentanten)
$=[(a+b) + c]$
(wieder nach Definition der Addition in [mm] $\IZ_n$ [/mm] über die Repräsentanten)
$=[a + (b+c)]$
(Assoziativgesetz in [mm] $\IZ$, [/mm] beachte: $a,b,c [mm] \in \IZ$!)
[/mm]
$=[a] + [b+c]$
(wieder nach Definition der Addition in [mm] $\IZ_n$ [/mm] über die Repräsentanten)
$=[a] + ([b] + [c])$
(wieder nach Definition der Additon in [mm] $\IZ_n$ [/mm] über die Repräsentanten).
Jetzt klarer? 
Liebe Grüße
Julius
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