asympt. Entw. Mehrskalenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] y''+2\varepsilon*y'+(1+\varepsilon^2)y=0 [/mm] y(0)=0 y'(0)=1
Um eine bessere Approximation zu finden kann man den Ansatz
[mm] y:=y_0(t,\mu)+\varepsilon*y_1(t,\mu)+\varepsilon^2*y_2(t,\mu)...
[/mm]
versuchen; hierbei ist [mm] \mu=\varepsilon*t [/mm] eine langsame Zeitskala.
Setzen Sie ... ein... Die Gleichung zu niedrigster Ordnung bestimmt [mm] y_0 [/mm] nicht vollständigund Koeffizientenfunktionen in [mm] \mu [/mm] kommen vor. |
Hallo,
ich habe das jetzt so interpretiert und nach Kettenregel gerechnet:
y':= [mm] \bruch{dy}{dt} \to y'(t,\mu)=y'(t,\mu)*\bruch{dt}{dt}+y'(t,\mu)*\bruch{d\mu}{dt}=y'(t,\mu)*(1+\varepsilon) [/mm] Das ergibt aber nach Einsetzen eine eindeutige Lösung!
Was muss ich anders machen bzw. wie soll die Ableitung von y aussehen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Mir fällt gerade auf: Es muss zumindest lauten [mm] \bruch{dy(t,\mu)}{dt}=\bruch{\delta y}{\delta t}+\bruch{\delta y}{\delta \mu}*\bruch{\delta \mu}{\delta t}=\bruch{\delta y}{\delta t}+\epsilon*\bruch{\delta y}{\delta \mu}:= y'+\epsilon*y^o
[/mm]
Der Ansatz ergibt jedoch Ähnliches. Einsetzen ergibt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\epsilon^k*(y_k+y''_k)+\epsilon*\summe_{k=0}^{\infty}\epsilon^k*(2y'_k+2y'^o)+\epsilon^2*\summe_{k=0}^{\infty}\epsilon^k*(2y^{o}+y^{oo})
[/mm]
Damit nach Koeffizientenvergleich nach Epsilon: [mm] y_0+y_0''=0, [/mm] y(0)=0, y'(0)=1.
Das ist aber scheinbar nicht, was rauskommen soll! (Lösungen sind nicht beigegeben)
lg
|
|
|
| |
|
Hallo Niladhoc,
> Mir fällt gerade auf: Es muss zumindest lauten
> [mm]\bruch{dy(t,\mu)}{dt}=\bruch{\delta y}{\delta t}+\bruch{\delta y}{\delta \mu}*\bruch{\delta \mu}{\delta t}=\bruch{\delta y}{\delta t}+\epsilon*\bruch{\delta y}{\delta \mu}:= y'+\epsilon*y^o[/mm]
>
> Der Ansatz ergibt jedoch Ähnliches. Einsetzen ergibt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\epsilon^k*(y_k+y''_k)+\epsilon*\summe_{k=0}^{\infty}\epsilon^k*(2y'_k+2y'^o)+\epsilon^2*\summe_{k=0}^{\infty}\epsilon^k*(2y^{o}+y^{oo})[/mm]
Korrekterweise muss hier stehen:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\epsilon^k*(y_k+y''_k)+\epsilon*\summe_{k=0}^{\infty}\epsilon^k*(2y'_k+2y_{\red{k}}'^o)+\epsilon^2*\summe_{k=0}^{\infty}\epsilon^k*(2y_{\red{k}}^{o}+y_{\red{k}}^{oo}+{\red{y_k}})[/mm]
> Damit nach Koeffizientenvergleich nach Epsilon:
> [mm]y_0+y_0''=0,[/mm] y(0)=0, y'(0)=1.
> Das ist aber scheinbar nicht, was rauskommen soll!
> (Lösungen sind nicht beigegeben)
>
> lg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
Ich bin endlich drauf gekommen, was falsch läuft: ich habe angenommen [mm] y_0 [/mm] sei =sin(t) und die Struktur in [mm] \mu [/mm] vernachlässigt.
Ich meine jetzt [mm] y_0 [/mm] müsse jetzt so aussehen: [mm] a(\mu)sin(t)+b(\mu) [/mm] (?) und, da ich die Ableitungen getrennt habe, muss a(0)=1 und b(0)=0 sein.
Wenn man die Summen nach [mm] \epsilon [/mm] ordnet erhält man (danke nochmal)
[mm] y_0''+y_0+\epsilon*(y_1''+2y'_0+2y_0'^o+y_0)+\summe_{k=2}^{\infty}\epsilon*(y_k''+2y_{k-1}'^o+y_{k-2}^{oo}+2y_{k-1}'+2y_{k-2}^o+y_k+y_{k-2})
[/mm]
Nun erhalte ich im nächsten Schritt [mm] y_1''+2a^o(\mu)cos(t)+2a(\mu)cos(t)+a(\mu)sin(t)+b(\mu)=0
[/mm]
Wenn ich nun [mm] a(\mu)=e^{-\mu} [/mm] annehme, ergibt sich [mm] y_1''=-e^{-\mu}sin(t)-b(\mu)
[/mm]
Nun ist meine nächste Frage, wie ich nun [mm] y_1 [/mm] herausbekomme. Da y'' die zweite partielle Ableitung nach t war, würde ich sagen [mm] y_1'':=e^{-\mu}sin(t)-b(\mu)*\bruch{t^2}{2}+ct+d, [/mm] wobei c und d auch null gesetzt werden würden.
Stimmt das jetzt so?
|
|
|
| |
|
Hallo Niladhoc,
> Hallo,
>
> Ich bin endlich drauf gekommen, was falsch läuft: ich habe
> angenommen [mm]y_0[/mm] sei =sin(t) und die Struktur in [mm]\mu[/mm]
> vernachlässigt.
> Ich meine jetzt [mm]y_0[/mm] müsse jetzt so aussehen:
> [mm]a(\mu)sin(t)+b(\mu)[/mm] (?) und, da ich die Ableitungen
> getrennt habe, muss a(0)=1 und b(0)=0 sein.
> Wenn man die Summen nach [mm]\epsilon[/mm] ordnet erhält man
> (danke nochmal)
>
> [mm]y_0''+y_0+\epsilon*(y_1''+2y'_0+2y_0'^o+y_0)+\summe_{k=2}^{\infty}\epsilon*(y_k''+2y_{k-1}'^o+y_{k-2}^{oo}+2y_{k-1}'+2y_{k-2}^o+y_k+y_{k-2})[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]y_0''+y_0+\epsilon*(y_1''+2y'_0+2y_0'^o+y_{\blue{1}})+\summe_{k=2}^{\infty}\epsilon^{\blue{k}}*(y_k''+2y_{k-1}'^o+y_{k-2}^{oo}+2y_{k-1}'+2y_{k-2}^o+y_k+y_{k-2})[/mm]
>
> Nun erhalte ich im nächsten Schritt
> [mm]y_1''+2a^o(\mu)cos(t)+2a(\mu)cos(t)+a(\mu)sin(t)+b(\mu)=0[/mm]
Mit den Korrekturen erhältst Du nun:
[mm]y_1''+2a^o(\mu)cos(t)+2a(\mu)cos(t)+\blue{y_{1}}=0[/mm]
> Wenn ich nun [mm]a(\mu)=e^{-\mu}[/mm] annehme, ergibt sich
> [mm]y_1''=-e^{-\mu}sin(t)-b(\mu)[/mm]
>
> Nun ist meine nächste Frage, wie ich nun [mm]y_1[/mm]
> herausbekomme. Da y'' die zweite partielle Ableitung nach t
> war, würde ich sagen
> [mm]y_1'':=e^{-\mu}sin(t)-b(\mu)*\bruch{t^2}{2}+ct+d,[/mm] wobei c
> und d auch null gesetzt werden würden.
>
> Stimmt das jetzt so?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
ach das hatte ich zwischendurch sogar noch so stehen...
ich habe jetzt [mm] y_1=0 [/mm] setzen müssen (und [mm] y_0 [/mm] ist bereits die analytische Lösung).
vielen dank nochmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 19.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Do 20.05.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
ich komme leider nicht hinter, wo bei mir der Fehler steckt, sieht ihn jemand?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo Niladhoc,
> Hallo,
>
> ich komme leider nicht hinter, wo bei mir der Fehler
> steckt, sieht ihn jemand?
Siehe dazu diesen Artikel.
>
> lg
Gruss
MathePower
|
|
|
|
