matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra / Vektorrechnungaufgabe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - aufgabe
aufgabe < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Do 06.05.2004
Autor: ChristianH

ICh hab hier eine frage, komm aber nicht auf den ansatz. wäre cool wenn ihr mir einen kleinen "schubs" in die richtige richtung geben könntet:


Vier Punkte A,B,C,D im Raum liegen genua dann in einer gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren AB, AC, AD linear unabhängig sind. Prüfe ob A,B,C,D in einer Ebene liegen:
A(1;2;-1), B(4;5;-3), C(-2;0;7), D(3;1;2)

        
Bezug
aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Do 06.05.2004
Autor: orges

Hallo Christian
> ICh hab hier eine frage, komm aber nicht auf den ansatz.
> wäre cool wenn ihr mir einen kleinen "schubs" in die
> richtige richtung geben könntet:
>  
>
> Vier Punkte A,B,C,D im Raum liegen genua dann in einer
> gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren AB, AC, AD linear
> unabhängig sind. Prüfe ob A,B,C,D in einer Ebene liegen:
>  A(1;2;-1), B(4;5;-3), C(-2;0;7), D(3;1;2)
>  

Du erzeugst dir eine Ebenengleichung zum Beispiel mit dem Namen E, in dem du
zunächst nur drei Punkte (z.B. A,B,C) betrachtest und aus dieser dir die Gleichung der Ebene verschaffst.
Der Ansatz lautet dann :  (unterstrichene Buchstaben sollen Vektoren darstellen)

E : x = a + k(b - a) + l(c - a)    mit k, l [mm] \in \IR [/mm]
                      
Wobei  a = 0A  ,   b = 0B  und c = 0C  sind.

Mit dieser Ebene E in Parameterform kannst du folgendes machen:
           1.  Entweder  du  verschaffst dir die dazugehörige Normalenform der
                Ebene und setzt dann den Punkt D in die Ebenengleichung ein, um
                zu überprüfen, ob er in der Ebene liegt,     oder
                                                                      
           2.   du setzt für x den Vektor d = 0D in die Parameterform der
                 Ebene ein , um zu überprüfen , ob D in E liegt.
                 Dabei stößt du auf ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten    (k und l)  und drei Gleichungen.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Ansonsten frag nochmal nach
Orges

Bezug
        
Bezug
aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Do 06.05.2004
Autor: Marc

Hallo Christian,

herzlich willkommen im MatheRaum! Schön, dass du hierher gefunden hast :-)

> ICh hab hier eine frage, komm aber nicht auf den ansatz.
> wäre cool wenn ihr mir einen kleinen "schubs" in die
> richtige richtung geben könntet:
>  
>
> Vier Punkte A,B,C,D im Raum liegen genua dann in einer
> gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren AB, AC, AD linear
> unabhängig sind. Prüfe ob A,B,C,D in einer Ebene liegen:
>  A(1;2;-1), B(4;5;-3), C(-2;0;7), D(3;1;2)

Das kann nicht sein, ich denke, du hast dich da beim Abtippen vertan. Es müßte entweder heißen:
"Vier Punkte A,B,C,D im Raum liegen genua dann in einer gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren AB, AC, AD linear abhängig sind."
oder
"Vier Punkte A,B,C,D im Raum liegen genua dann nicht in einer gemeinsamen Ebene, wenn die Vektoren AB, AC, AD linear abhängig sind."

Schaue das bitte nochmal nach.


Da du wahrscheinlich noch keine Ebenen hattest (oder doch?), wollte ich ein Lösung ohne Ebenen anbieten.

Eigentlich steht schon der Lösungsweg in der Aufgabe:

Du bildest zunächst die drei Vektoren AB, AC und AD.

AB ist zum Beispiel der Vektor, der vom A zum Punkt B zeigt; er wird rechnerisch durch die Differenz der Ortsvektoren von A und B, also [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$, [/mm] ermittelt:

[mm] $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ [/mm]

Mit [mm] $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-1 \end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ [/mm] folgt so:

[mm] $\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}$ [/mm]

(Wird dieser Vektor als Verschiebung aufgefasst, so bedeutet das, dass der Punkt A durch den Vektor [mm] $\vec{AB}$ [/mm] auf den Punkt B abgebildet wird.)

Das gleiche machst du nun für die anderen beiden Vektoren:

[mm] $\vec{AC}=\ldots$ [/mm]
[mm] $\vec{AD}=\ldots$ [/mm]

So, jetzt haben wir (bzw. du ;-)) die im Tipp der Aufgabenstellung erwähnten Vektoren aufgestellt

Im Tipp steht weiterhin, dass die Punkte in einer Ebene liegen, wenn diese drei Vektoren linear abhängig sind.

Weißt du, wie man die lineare Abhängigkeit von Vektoren nachweist?

Falls nicht, frage bitte nach.

Ich werde es aber gleich ohnehin nachliefern, ich schicke diese Antwort aber bereits jetzt ab, da es ja schon spät ist und ich nicht weiß, wie lange du noch online bist.

Alles Gute und bis gleich,
Marc



Bezug
                
Bezug
aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Do 06.05.2004
Autor: Marc

Hallo Christian,

jetzt noch zum Nachweis der linearen (Un-) Abhängigkeit.

Es gibt zwei äquivalente Definitionen bzw. Kriterien zum Nachweis der Linearen Abhängigkeit; beide benutzen den Begriff der Linearkombination, den ich jetzt mal als bekannt voraussetze; frage nach, falls das bei dir nicht der Fall sein sollte ;-)

Gleich vorneweg: Das zweite Kriterium ist wichtiger, das erste ist aber vielleicht besser zu verstehen.

Also:

n Vektoren [mm] $\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n$ [/mm] heißen linear abhängig, wenn einer der n Vektoren als Linearkombination der anderen n-1 Vektoren darstellbar ist.
Formal also wenn es n-1 Zahlen [mm] $r_1,\ldots,r_{n-1}\in\IR$ [/mm] gibt, so dass

[mm] $\vec{a}_n=r_1*\vec{a}_1+\ldots+r_{n-1}*\vec{a}_{n-1}$ [/mm]

gilt.

Beispiel mit drei Vektoren:
Drei Vektoren [mm] $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ [/mm] heißen linear abhängig, wenn es zwei Zahlen [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] gibt, so dass

[mm] $\vec{a}=\lambda*\vec{b}+\mu*\vec{c}$ [/mm]

Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind :-)




Nun die wichtigere Definition:

n Vektoren [mm] $\vec{a}_1,\ldots,\vec{a}_n$ [/mm] heißen linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur durch die "triviale" Linearkombination aus diesen n Vektoren darstellbar ist.
Formal also:
[mm] $\vec{0}=r_1*\vec{a}_1+\ldots+r_{n}*\vec{a}_{n}$ [/mm]
gilt nur für [mm] $r_1=\ldots=r_n=0$ [/mm]

Beispiel mit drei Vektoren:
Drei Vektoren [mm] $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ [/mm] heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung

[mm] $\vec{0}=\lambda*\vec{a}+\mu*\vec{b}+\nu\vec{c}$ [/mm]

als einzige Lösung [mm] $\lambda=0, \mu=0, \nu=0$ [/mm] hat.

Das mußt du also mit deinen drei Vektoren überprüfen.

Schaffst du das? Falls nicht frage bitte nach :-)

Viele Grüße,
Marc


Bezug
                        
Bezug
aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Do 06.05.2004
Autor: ChristianH

also muss ich dann:

r1 [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} [/mm] + r2...

rechnen, und wenn es dann noch eine andere Lösung gibt als (0;0;09, dann sind die vektoren abhängig, liegen also in einer Ebene?!

(es muss wirklich "abhängig" heißen in der aufgabe

Bezug
                                
Bezug
aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:48 Do 06.05.2004
Autor: Marc

Hallo Christian,

A(1;2;-1), B(4;5;-3), C(-2;0;7), D(3;1;2)

die drei Vektoren lauten:

[mm] \vec{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \vec{AC}=\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\8 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \vec{AD}=\begin{pmatrix} 2\\ -1 \\3 \end{pmatrix} [/mm]

Jetzt stellst du die angesprochene Linearkombination auf:

[mm] $r*\vec{AB}+s*\vec{AC}+t*\vec{AD}=\vec{0}$ [/mm]

[mm] $r*\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\-2 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\8 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2\\ -1 \\3 \end{pmatrix}=\vec{0}$ [/mm]

Daraus kannst du nun ein lineares Gleichungssystem (LGS) bauen (siehe die Komponenten der Vektoren):

3r - 3s + 2t = 0
3r -2s - t = 0
-2r +8s +3t = 0

Nun ist also zu zeigen, dass dieses lineare Gleichungssystem als einzige Lösung r = s = t = 0 besitzt (dann sind die Vektoren linear unabhängig).

Findest du aber für diese LGS eine weitere, von der trivialen Lösung verschiedene Lösung, dann sind die Vektoren linear abhängig (und die Punkte liegen in einer Ebene).

War das einigermaßen verständlich? Falls nicht, nachfragen :-)

Alles Gute,
Marc

Bezug
                                        
Bezug
aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:51 Fr 07.05.2004
Autor: ChristianH

Vielen Dank für die schnelle Hilfe gestern Nacht!!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]