aufgespannter Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Berndus |
| Aufgabe | V sei der von den Vektoren (1,2,3,4); (0,1,3,5); (0,0,0,3) aufgespannter Vektorraum.
Welche der folgenden Vektoren sind in V enthalten?
(1,1,0,2) (0,0,0,0) (2,2,2,0) (3,4,3,0) (0,1,3,0) (7,0,0,7) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend Freunde der hohen mathematischen Kunst,
ich wäre mehr als dankbar, wenn mir jemand eine Methode zeigen könnte, wie ich solche Aufgaben selbstständig lösen kann.
Bis später
Berndus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Berdus,
du musst schauen, ob du die vektoren als linearkombination deiner basiselemente darstellen kannst!
also ob du relle zahlen a, b, c [mm] \in [/mm] R findest für die gilt
[mm] a(1,2,3,4)^t [/mm] + [mm] b(0,1,3,5)^t+c (0,0,0,3)^t =(1,1,0,2)^t
[/mm]
das gibt dann ein LGS, wenn du eine eindeutige lösung für a,b,c findest liegt (1,1,02) in V. Für die andren Vektoren kannst du das genauso prüfen.
viele grüße
riley
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> V sei der von den Vektoren (1,2,3,4); (0,1,3,5); (0,0,0,3)
> aufgespannter Vektorraum.
> Welche der folgenden Vektoren sind in V enthalten?
> (1,1,0,2) (0,0,0,0) (2,2,2,0) (3,4,3,0) (0,1,3,0)
> (7,0,0,7)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Sei also [mm] V:=\left<\vektor{1\\2\\3\\4}, \vektor{0\\0\\3\\5}; \vektor{0\\0\\0\\3}\right> [/mm] .
Was bedeutet es, wenn [mm] \vektor{1\\1\\0\\2} [/mm] in V liegt?
Dann gibt es a,b,c [mm] \in \IR [/mm] mit
[mm] a*\vektor{1\\2\\3\\4}+b*\vektor{0\\0\\3\\5}+c*\vektor{0\\0\\0\\3}=\vektor{1\\1\\0\\2} [/mm] ,
d.h. man kann [mm] \vektor{1\\1\\0\\2} [/mm] als Linearkombination der drei Vektoren darstellen.
Wann kann man das?
Man kann es, wenn das folgende Gleichungssystem eine Lösung hat:
a*1+b*0+c*0=1
a*2+b*0+c*0=1
a*3+b*3+c*0=0
a*4+b*5+c*3=2
Wie findest Du das heraus? Indem Du es mit irgendeiner der Dir bekannten Methoden löst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Berndus |
| Aufgabe | V sei der von den Vektoren (1,2,3,4); (0,1,3,5); (0,0,0,3) aufgespannter Vektorraum.
Welche der folgenden Vektoren sind in V enthalten?
(1,1,0,2) (0,0,0,0) (2,2,2,0) (3,4,3,0) (0,1,3,0) (7,0,0,7) |
so, erstmal Danke für eure fixen Antworten :)
Ihr seid ja schneller als die Polizei erlaubt
Ich hab jetzt mir eurer Hilfestellung ein bissl herumgerechnet und herausgefunden, dass alle Vektoren außer (2,2,2,0) und (7,0,0,7) im Vektorraum enthalten sind.
Der Nachteil ist, dass es ziemlich lange gedauert hat. Ich habe das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren(manchmal auch Additionsverfahren) gelöst. Bei dem gaußschen Eliminationsverfahren verrechne ich mich zu oft. Ich hab für die Aufgabe gewiss mal 15-20 Minuten gebraucht. Is meiner Meinung nach etwas lang.
Habt ihr irgendwelche Tipps oder Erfahrungen wie man die Vektoren schneller überprüfen könnte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:13 So 04.03.2007 | | Autor: | Berndus |
Es träumte mir, dass ich das LGS mit der Cramer'schen Regel effizient lösen kann. D.h über [mm] \Delta [/mm] = 0 zeigen kann, dass das GLS nur eine Lösung hat. Das dumme ist, dass dafür die Matrix quadratisch sein müsste.
Das beste wird wohl sein, eine Koeffizientenmatrix zu erstellen. Das Problem ist, dass die Matrix überbestimmt ist, d.h. mehr Gleichungen hat, als Variablen.
Wäre ein gut gebildeter Mensch mal so freundlich, es mir für einen Vektor zu zeigen?
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> Es träumte mir, dass ich das LGS mit der Cramer'schen Regel
> effizient lösen kann. D.h über [mm]\Delta[/mm] = 0 zeigen kann, dass
> das GLS nur eine Lösung hat. Das dumme ist, dass dafür die
> Matrix quadratisch sein müsste.
Hallo,
Die Cramersche Regel halte ich für diese Frage nicht für erfolgversprechend.
Hier interessiert nicht die Frage, ob das Gleichungssystem nur eine Lösung hat. Es geht darum, ob es überhaupt eine Lösung hat.
Du könntest ja mal die Situation haben, daß die Vektoren in Deinem aufgespannten Raum V nicht linear unabhängig sind. Dann gibt es für die zu prüfenden Vektoren möglicherweise mehrere Möglichkeiten, sie als Linearkombination der Vektoren aus V darzustellen.
In dem Falle ist das GS lösbar, aber nicht eindeutig.
Gruß v. Angela
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> V sei der von den Vektoren (1,2,3,4); (0,1,3,5); (0,0,0,3)
> aufgespannter Vektorraum.
> Welche der folgenden Vektoren sind in V enthalten?
> (1,1,0,2) (0,0,0,0) (2,2,2,0) (3,4,3,0) (0,1,3,0)
> (7,0,0,7)
> Ich hab jetzt mir eurer Hilfestellung ein bissl
> herumgerechnet und herausgefunden, dass alle Vektoren außer
> (2,2,2,0) und (7,0,0,7) im Vektorraum enthalten sind.
Hallo,
das ist auch mein Ergebnis.
>
> Der Nachteil ist, dass es ziemlich lange gedauert hat. Ich
> habe das Gleichungssystem mit dem
> Einsetzungsverfahren(manchmal auch Additionsverfahren)
> gelöst. Bei dem gaußschen Eliminationsverfahren verrechne
> ich mich zu oft.
Das Problem mit dem Verrechnen hat wohl fast jeder.
(Ich bin dazu übergegangen, lieber langsam als schnell zu rechnen und keine zwei Schritte zu einem zusammenzufassen. Auch das rettet mich nicht immer vor Fehlern.)
Du mußt Dich unbedingt mit diesem Verfahren vertraut machen!
Koeffizienten in die Matrix, Zeilenstufenform erstellen, da kann man dann die Lösbarkeit schon ablesen, ohne die Lösungen im einzelnen zu berechnen.
Du weißt wie's geht? Ansonsten:  Gauß-Algorithmus.
> Habt ihr irgendwelche Tipps oder Erfahrungen wie man die
> Vektoren schneller überprüfen könnte?
Wie gesagt: Koeffizientenmatrix. Gauß-Algorithmus.
Wenn Du das ein paarmal gemacht hast, kannst Du es beschleunigen, indem Du diese Rechnung simultan für alle zu überprüfenden Vektoren durchführst.
In Deinem Beispiel hättest Du dann auf der rechten Seite der erweiterten Koeffizientenmatrix nicht nur einen zu prüfenden Vektor, sondern die 6 zu untersuchenden Vektoren in Spalten nebeneinander.
Du würdest die linke Seite auf Zeilen-Stufenform bringen, und für die Ermittlung des Ergebnisses die rechten Spalten einzeln betrachten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 04.03.2007 | | Autor: | Berndus |
Hallo Angela,
ich wollte jetzt gerade mal mit der Koeffizientenmatrix losrechnen. Wie läuft das mit der Überbestimmung? Ich hab ja mehr Gleichungen als Variablen. (dazu steht im Gauß' Artikel nichts drin)
Ich würde vorschlagen, eine erweiterte 3er Matrix (für die ersten 3 Gleichungen) aufzustellen. Anschließend würde ich noch die Ergebnisse auf die 4. Gleichung anwenden bzw. auf Verträglichkeit
überprüfen.
Is das richtig?
Bye
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> Hallo Angela,
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> ich wollte jetzt gerade mal mit der Koeffizientenmatrix
> losrechnen. Wie läuft das mit der Überbestimmung? Ich hab
> ja mehr Gleichungen als Variablen. (dazu steht im Gauß'
> Artikel nichts drin)
Hallo,
wenn Du ein überbestimmtes Gleichungssystem hast, ist der Rang der koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Zeilen.
Das bedeutet, daß Du schließlich nach dem Umformen gemäß Gauß Zeilen mit nur Nullen erhältst.
Es kommst jetzt für die Lösbarkeit des GS darauf an, daß die erweiterte Koeffizientenmatrix in diesen Zeilen (rechts) auch nur die Null enthält. Dann ist das GS lösbar.
In Lin. Algebra- Büchern o.ä. liest man oft: Das GS ist lösbar, wenn der Rang der Matrix gleich dem der erweiterten Matrix ist.
Am besten testest Du das jetzt mal mit einem der Vektoren, von denen Du weißt, daß er nicht "drin" ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:03 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Berndus |
Wunderbar. Vielen Dank.
- Die Koeffizientenmatrix ist schon eine feine Sache.
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