aufgeteilte Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} |x-b|, & \mbox{für } x \ge 0 \\ \bruch{1}{a^{2}(x+1)^{2}+1}, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
f:: [mm] \IR--> \IR [/mm] a,b [mm] \in\IR
[/mm]
habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
bestimme , ob f differenzierbar in ganz [mm] \IR [/mm] ist. und falls ja unter welchen Bedingungen an a und b |
Für den ersten teil würde ich |x-b| auteilen in
x-b für [mm] x\ge [/mm] 0 und in
-x+b für x<0
dann
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(x-b+h)-(x-b)}{h}=\bruch{h}{h}=1
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(-x+b+h)-(-x+b)}{h}=\bruch{h}{h}=1
[/mm]
--> |x-b| differenzierbar für alle b [mm] \in \IR, [/mm] da ja der grenzwert unabhängig von b ist
aber eigentlich sind da betragsfunktionen wegen dem knick nicht differenziebar oder?
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hab da oben glaubig mist geschrieben, man muss die fälle betrachten
|x-b|
x-b für x [mm] \ge [/mm] b
x-b für x < b
kann man aber trotzdem so weiter machen, mit den beiden limes wie oben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
wie du noch bemerkt hast musst du nach x<b und [mm] x\ge [/mm] b aufteilen.
Die Differenzenquotienten hatten trotzdem einen kleinen Fehler :
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{((x+h)-b)-(x-b)}{h}=\bruch{h}{h}=1
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(-(x+h)+b)-(-x+b)}{h}=\bruch{-h}{h}=-1
[/mm]
Somit ist der erste Teil der Funktion bei b nicht differenzierbar.
Man muss b daher so wählen, dass die Stelle nicht in den Bereich [mm] x\ge [/mm] 0 fällt.
Danach sollte auch der zweite Teil nach nicht diff.-baren Stellen überprüft werden.
Zum Schluss geht es um die Stelle x=0, an der beide Teile aneinander gesetzt werden.
Dort muss [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}\bruch{f(x)-f(0)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0+}(|x-b|)'=\limes_{x\rightarrow 0-}(\bruch{1}{a^{2}(x+1)^{2}+1})'=\limes_{x\rightarrow 0-}\bruch{f(x)-f(0)}{x} [/mm] gelten.
Ciao.
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