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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Gleichung nach [mm] x_{1} [/mm] auf:
U - ln [mm] x_{1} [/mm] - ln [mm] (x_{1}*\bruch{p_{1}}{p_{2}}) [/mm] = 0 |
Ich habe hier mal wieder Probleme mit der Logarithmus-Umformung...
Ich habe die Gleichung soweit umgeformt:
U = ln [mm] x_{1} [/mm] + ln [mm] (x_{1}*\bruch{p_{1}}{p_{2}})
[/mm]
U = ln [mm] x_{1} [/mm] + ln [mm] x_{1} [/mm] + ln [mm] p_{1} [/mm] - ln [mm] p_{2}
[/mm]
U - ln [mm] p_{1} [/mm] - ln [mm] p_{2} [/mm] = 2 ln [mm] x_{1}
[/mm]
0,5 (U - ln [mm] p_{1} [/mm] - ln [mm] p_{2}) [/mm] = ln [mm] x_{1}
[/mm]
...und jetzt weiß ich nicht, wie ich den logarithmus auf der rechten Seite loswerde. Bitte um Hilfe! Dankeschön.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MissChilli,
ich würde nicht alles auseinander ziehen, versuche mal Folgendes:
[mm] $U-\ln(x_1)-\ln\left(x_1\cdot{}\frac{p_1}{p_2}\right)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \ln(x_1)+\ln\left(x_1\cdot{}\frac{p_1}{p_2}\right)=U$
[/mm]
[mm] $\gdw \ln\left(x_1\cdot{}x_1\cdot{}\frac{p_1}{p_2}\right)=U$
[/mm]
denn [mm] $\ln(a)+\ln(b)=\ln(a\cdot{}b)$
[/mm]
[mm] $\gdw \ln\left(x_1^2\cdot{}\frac{p_1}{p_2}\right)=U$
[/mm]
Nun mit der $e$-Funktion draufhauen ...
LG
schachuzipus
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Hallo Schachuzipus,
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Mit den ln und e-funktionen und umwandlungen habe ich generell Probleme, aber ich habe es jetzt mal so probiert, wie du es vorgeschlagen hast. Kannst du mir bitte sagen, ob es so richtig ist? Danke :)
ln [mm] (x_{1}^{2}*\bruch{p_{1}}{p_{2}}) [/mm] = U
[mm] e^{ln (x_{1}^{2}*\bruch{p_{1}}{p_{2}}}) [/mm] = [mm] e^U
[/mm]
[mm] x_{1}^{2}*\bruch{p_{1}}{p_{2}} [/mm] = U
[mm] x_{1}^{2} [/mm] = [mm] U*\bruch{p_{2}}{p_{1}}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{U*\bruch{p_{2}}{p_{1}}} [/mm] ??
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Hallo nochmal,
fast richtig, du hast nachher nur ein "e" verschlabbert, und zwar hier:
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> ln [mm](x_{1}^{2}*\bruch{p_{1}}{p_{2}})[/mm] = U
>
> [mm]e^{ln (x_{1}^{2}*\bruch{p_{1}}{p_{2}}})[/mm] = [mm]e^U[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
bis hierher ok !!
>
> [mm]x_{1}^{2}*\bruch{p_{1}}{p_{2}}[/mm] = U
Wo ist das [mm] $e^{U}$ [/mm] auf der rechten Seite hin ?
>
> [mm]x_{1}^{2}[/mm] = [mm]\red{e}^{U}*\bruch{p_{2}}{p_{1}}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\wurzel{\red{e}^{U}*\bruch{p_{2}}{p_{1}}}[/mm] ??
denn eine negative Lösung für [mm] x_1 [/mm] kommt ja nicht in Frage, da [mm] \ln(x_1) [/mm] dann nicht definiert wäre
[mm] $=e^{\frac{U}{2}}\cdot{}\sqrt{\frac{p_2}{p_1}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Danke! :)
Ich hab das e weggelassen, weil ich mir in Mikro folgendes aufgeschrieben hatte:
[mm] U(x_{1}, x_{2}) [/mm] = ln [mm] x_{1} [/mm] + ln [mm] x_{2}
[/mm]
[mm] \gdw \overline{U} [/mm] = [mm] x_{1}*x_{2}
[/mm]
demnach muesste das wohl auch falsch sein...?
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Hi nochmal,
dann hättest du oben [mm] $\overline{U}$ [/mm] schreiben müssen, denn wenn [mm] $U=\ln(x_1)+\ln(x_2)$ [/mm] ist, dann ist nach unserer obigen Umformung
[mm] $e^{U}=e^{\ln(x_1)+\ln(x_2)}=e^{\ln(x_1)}\cdot{}e^{\ln(x_2)}=x_1\cdot{}x_2=\overline{U}$ [/mm] nach deiner Notation
Aber das kannst du ja bei Bedarf an die Lösung anpassen...
LG
schachuzipus
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Hi,
tut mir leid, dass ich das immer noch nicht verstanden habe...
macht also [mm] \overline{U} [/mm] anstatt U den Unterschied aus? also [mm] \overline{U} [/mm] soll ja heißen, dass der Nutzen konstant bleibt...also muesste bei meiner ersten Gleichung auch [mm] \overline{U} [/mm] stehen, glaube ich. Hieße das dann, dass meine erste Lösung, wenn ich [mm] \overline{U} [/mm] schreibe, doch stimmt...??
LG
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Hi,
> Hi,
>
> tut mir leid, dass ich das immer noch nicht verstanden
> habe...
> macht also [mm]\overline{U}[/mm] anstatt U den Unterschied aus?
> also [mm]\overline{U}[/mm] soll ja heißen, dass der Nutzen konstant
> bleibt...also muesste bei meiner ersten Gleichung auch
> [mm]\overline{U}[/mm] stehen, glaube ich. Hieße das dann, dass meine
> erste Lösung, wenn ich [mm]\overline{U}[/mm] schreibe, doch
> stimmt...??
>
halt, jetzt nicht die dinge durcheinander bringen ... 
so wie du die aufgabe gepostet hast (mit U), muss in der loesung unter der wurzel [mm] $e^U$ [/mm] stehen, sonst ist das mathematisch einfach falsch. Solltet ihr im skript [mm] $\overline{U}:=e^U$ [/mm] definiert haben, kannst du das dann ersetzen.
Ansonsten ist es natuerlich eine reine bezeichnungs-frage, ob du die variable $U$ oder [mm]\overline{U}[/mm] nennst.
Sollte die aufgabe mit [mm]\overline{U}[/mm] gestellt gewesen sein, muss unter der wurzel halt [mm] $e^{\overline{U}}$ [/mm] stehen.
gruss
matthias
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