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awp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 So 03.07.2011
Autor: simplify

Aufgabe
Wir betrachten den harmonischen Oszillator x'(t) = y(t), y'(t) = −x(t) zu den
Startwerten x(0) = 0, y(0) = 1 mit der exakten Lösung x(t) = sin t, y(t) = cos t.
(i) Zeige: Die exakte Lösung erfüllt [mm] x(t)^{2} [/mm] + [mm] y(t)^{2} [/mm] = 1 für jedes [mm] t\ge0. [/mm]
(ii) Bezeichne [mm] \phi^{h} [/mm]  das explizite Euler-Verfahren zur Schrittweite h und sei [mm] (x_{1},y_{1})=\phi^{h}(0,1).Bestimme x_{1}^{2}+y_{1}^{2}. [/mm]
(iii)Sei nun [mm] \phi^{h} [/mm] das implizite Euler-Verfahren zur Schrittweite h und sei [mm] (x_{1},y_{1})=\phi^{h}(0,1).Bestimme x_{1}^{2}+y_{1}^{2}. [/mm]

halli hallo...
also ich beschäftige mich herade mit teil (i) und weiß nicht sorecht weiter,bzw. ob ich überhaupt das richtige mache.
mein ansatz sieht folgendermaßen aus:
x'(t)=y(t) [mm] \to \bruch{dx}{dy}=y \to \integral_{a}^{b}{dx}=\integral_{a}^{b}{y dy} \to x=\bruch{y^{2}}{2} [/mm]
analog y'(t)=-x(t) [mm] \to y=\bruch{-x^{2}}{2} [/mm]
aber ich weiß nicht wie ich jetzt weiter machen soll,um (i) zu zeigen.kann mir jemand helfen?

        
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awp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 So 03.07.2011
Autor: leduart

Hallo
da geht was entsetzlich schief!
x und y sind Funktionen von t, d,h, [mm] x'(t)=\bruch{dx}{dt} [/mm]
das Problem ist 2 dimensional. Die Lösungen sind ja gegeben, also musst du nur bestätigen dass sie das System von Dgl lösen. (einsetzen!)
Wenn du selbst auf die Lösung kommen willst, dann weiter differenzieren:
aus x''=y' und y'=-x  folgt x''(t)=-x(t) und dass für sin und cos gilt cos''=-cos und sin''=-sin weiss man.
du kannst aber auch direkt aus [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] und [mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] dy/dx bestimmen ! dann kriegst du dein [mm] x^2+y^2 [/mm] direkt.
Gruss leduart


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awp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 So 03.07.2011
Autor: simplify

danke!den fehler mach ich fast immer,sofort [mm] \bruch{dx}{dy} [/mm] hinzuschreiben.naja,egal.jetzt hab ich es auch hinbekommen,was mich zu (ii) bringt.da bin ich irgendwie verwirrter.
ich verstehe die aufgabestellung nicht wirklich (vielleicht auch nur die schreibweise nicht).
das explizite euler-verfahren sieht bei uns so aus:
[mm] y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k},y_{k}) [/mm]
[mm] t_{0}=0 [/mm] und [mm] y_{0}=1 [/mm] wegen den gegebenen startwerten oder?
ich weis nicht wie ich das auf die aufgabe anwenden soll???

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awp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 So 03.07.2011
Autor: leduart

Hallo
Du hast ein 2 dimensinales Problem [mm] \vektor{x(t)\\y(t)} [/mm]
und die Dgl [mm] \vektor{x(t)\\y(t)}'=\vektor{y(t)\\-x(t)} [/mm]
dein Anfang [mm] ist:\vektor{x(0)\\y(0)}=\vektor{0\\1} [/mm]
Dein Verfahren [mm] also:\vektor{x_{k+1}\\y_{k+1}}=\vektor{x_{k}\\y_{k}}+h*\vektor{y_k\\-x_k} [/mm]
natürlich kannst du das auch für die einzelnen Komponenten schreiben, musst aber natürlich in jedem Schritt beide ausrechnen!
Gruss leduart


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awp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 Mo 04.07.2011
Autor: simplify

danke.das dürfte erstmal jede weitere frage beantworten...

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