(ax+b)*(cx+d)=ex²+fx+g < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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[mm] (ax+b)\*(cx+d)=ex^{2}+fx+g
[/mm]
Ich brauch hier mal Hilfe beim schematisierten Faktorisieren.
Nehmen wir einen zufälligen Term der Form
[mm] ex^{2}+fx+g
[/mm]
wie kommt man auf die Zahlen in den Klammern?
Weil nicht jeder Term ist reduzierbar auf [mm] (a+b)^{2}, [/mm] und genau die, die das nicht sind, bereiten mir enorme Schwierigkeiten.
Klar ist mir auch, dass nicht jeder Term faktorisierbar ist, aber ich weiß nichtmal warum.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Di 01.03.2016 | | Autor: | huddel |
Achtung Kochrezept:
sei $f(x) = [mm] ax^2+bx+c$. [/mm] Klammere $a$ aus, dann bekommst du $f(x) = [mm] a(x^2+\frac{b}{a}x [/mm] + [mm] \frac{c}{a}) [/mm] =: [mm] a\cdot [/mm] g(x)$
löse die Gleicung $g(x) = 0$ (Stichwort: Mitternachtsformel, Polynomendivision etc.)
seien [mm] $x_1,x_2$ [/mm] die Lösugen für die Gleichung $g(x) = 0$, dann lässt sich $g(x)$ in der Foöm $g(x) = [mm] (x-x_1)\cdot(x-x_2)$ [/mm] schreiben.
Damit wird $f(x)$ zu $f(x) = [mm] a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)$ [/mm] und du hast die gewünschte Form (naja fast, den Rest bekommst du hin) :)
Ich hoffe, das hilft :D
Zu deiner Frage, warum manche Polynome nicht faktorisiert werden können. Dies gilt nur in den reelen Zahlen. In den komplexen Zahlen ist jedes Polynom vom grad $>0$ in Faktoren zerlegbar. Wenn du nur die reelen Zahlen betrachtest guck dir mal das Polynom
$h(x) = [mm] x^2+1$ [/mm] an und versuch die Gleichung $h(x) = 0$ zu lösen.
Wenn du das soweit hast reden wir weiter :D
LG
Huddel
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[mm] h(x)=x^{2}+1
[/mm]
[mm] x^{2}+1=0
[/mm]
ist ja recht einfach wenn man sich die Zahl anguckt, sie muss als Quadrat 1 ergeben, daher kommt im reellen nur 1 und -1 in Frage, die scheiden aber beide aus, da sie quadriert positiv sind, und daher nicht =-1 sein können.
Daher bleibt nurnoch
[mm] x^{2}=-1
[/mm]
[mm] x_{1}=+\wurzel{-1}=i [/mm] und [mm] x_{2}=-\wurzel{-1}=-i
[/mm]
Ok, warum ich überhaupt darauf komme:
ich mache grade zur Übung limes Aufgaben.
Daher kann ich wohl davon ausgehen, dass die Terme faktorisierbar sind mit reellen Zahlen, oder ein anderer "Trick" angewandt werden kann.
Nehmen wir:
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{doofer Term}{noch dooferer Term}
[/mm]
Wie kann ich jetzt, mit dem Wissen, dass es meistens auch noch ganzzahlige reelle Zahlen gibt für die Klammern schnell arbeiten?
Denn ich möchte nicht immer zum Taschenrechner greifen.
Gibts da irgendeinen Trick oder so?
Danke übrigens für den Trick den Faktor von [mm] x^{2} [/mm] erstmal "rauszuholen", danach ist dass ja dann nur pq-Formel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Di 01.03.2016 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft das:
https://de.wikipedia.org/wiki/Faktorisierung_von_Polynomen
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Di 01.03.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
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> Nehmen wir:
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{doofer Term}{noch dooferer Term}[/mm]
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> Wie kann ich jetzt, mit dem Wissen, dass es meistens auch
> noch ganzzahlige reelle Zahlen gibt für die Klammern
> schnell arbeiten?
Diese Art von Grenzwerten einer gebrochen rationalen Funktion kannst du meist mit einer Partialbruchzerlegung recht elegant umformen. Natürlich musst du dafür den Nenner faktorisieren.
> Denn ich möchte nicht immer zum Taschenrechner greifen.
Sehr löblich
Marius
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