a^x stärker als x^n < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 12.03.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | Beweise das jede Exponentialfunktion stärker steigt als jede Potenzfunktion. |
Hallo.
Seit heute Mittag suche ich nach einem Beweis, konnte aber nichts brauchbares finden. Nachdem ich auch hier eine halbe Stunde gesucht hab muss jetzt einfach mal Nachfragen.
Es gibt nicht nur einen Beweis für die Aufgabe (s.o.). Ich suche einen der in einer Ungleichung gelöst wird.
Meine Ansätze, die noch zu nichts geführt haben, sind:
[mm] \bruch{x^n}{a^x} [/mm] < 1
und
[mm] \bruch{(x^n)'}{(a^x)'} [/mm] < 1
für alle a > 1
Mit Grenzwerten geht das eigentlich zügig aber suche nun diese Form.
Freue mich über Hilfen.
Gruß,
ZodiacXP
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Mi 12.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Beweise das jede Exponentialfunktion stärker steigt als
> jede Potenzfunktion.
> Hallo.
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> Seit heute Mittag suche ich nach einem Beweis, konnte aber
> nichts brauchbares finden. Nachdem ich auch hier eine halbe
> Stunde gesucht hab muss jetzt einfach mal Nachfragen.
>
> Es gibt nicht nur einen Beweis für die Aufgabe (s.o.). Ich
> suche einen der in einer Ungleichung gelöst wird.
>
> Meine Ansätze, die noch zu nichts geführt haben, sind:
>
> [mm]\bruch{x^n}{a^x}[/mm] < 1
>
> und
>
> [mm]\bruch{(x^n)'}{(a^x)'}[/mm] < 1
>
> für alle a > 1
>
> Mit Grenzwerten geht das eigentlich zügig aber suche nun
> diese Form.
>
> Freue mich über Hilfen.
>
> Gruß,
> ZodiacXP
Hallo,
der Term [mm] \bruch{x^n}{a^x} [/mm] ist ein Term der Form [mm] \bruch{\infty}{\infty}.
[/mm]
L'Hospital ???
Oder, du bildest von der Vermutung [mm] a^x>x^n [/mm] mal den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten.
Viele Grüße
Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 12.03.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
L´Hospital versuche ich grad zu verstehen. Lese es mir auch schon die ganze Zeit durch. Aber da taucht wieder das limes auf was ich nicht haben wollt. Habe nun einen ganz anderen Ansatz gemacht schaffe es aber nicht ihn gescheit umzuformen:
Es gibt zu jedem n [mm] \in \IN^* [/mm] ein c [mm] \in \IR^{>0}
[/mm]
Also gilt für x [mm] \in \IR^{>0}: \bruch{x^n}{e^x} [/mm] < [mm] \bruch{c}{x}
[/mm]
Mein Ansatz:
[mm] x^{n+1} [/mm] < [mm] c*e^x
[/mm]
(n+1)ln(x) < ln(c)*x
Und da geht der Ofen bei mir aus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Deine Behauptung stimmt nur, sofern Exponentialfunktionen der Art $x [mm] \mapsto a^x$ [/mm] mit $a > 1$ betrachtet werden. Für $0 < a < 1$ ist die Behauptung falsch!
Zunächst zeigen wir die Behauptung für [mm] $f(x)=e^x$ [/mm] und [mm] $g(x)=x^n$, [/mm] beide Funktionen auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert, wobei $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest sei. Bekanntlich gilt:
[mm] $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$
[/mm]
Daher:
[mm] $\frac{f(x)}{g(x)} \ge \sum_{k=0}^{n+1} \frac{x^k}{x^n*k!} \ge \frac{x^{n+1}}{x^n*(n+1)!}=\frac{x}{(n+1)!} \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] (Beachte: $n$ ist fest, und daher ist auch [mm] $\frac{1}{(n+1)!}$ [/mm] als konstant zu betrachten!)
Und nun solltest Du versuchen, den allgemeinen Fall auf diesen Spezialfall zurückzuführen.
(Übrigens:
Bei $0 < a < 1$ geht das ganze schief, weil für $0 < a < 1$ eben [mm] $\ln(a) [/mm] < 0$ gilt, so dass man in diesem Fall die (zur) obige(n Ungleichung analoge) Ungleichung nicht hinschreiben kann.
Zudem gilt generell:
$a > 1 [mm] \gdw [/mm] 0 < [mm] \frac{1}{a} [/mm] < 1$, so dass, wenn [mm] $a^x \to \infty$, [/mm] dann [mm] $\left(\frac{1}{a}\right)^x \to [/mm] 0$ und umgekehrt, falls $a > 1$.)
P.S.:
Ich hatte vorhin auch mal probiert, die binomische Formel
[mm] $(r+s)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}r^k s^{n-k}$
[/mm]
mal zu benutzen und dachte eigentlich auch mal, dass ich den Beweis sogar selbst mal damit geführt habe, aber ich hatte mich dabei eben immer ein wenig verheddert. Nichtsdestotrotz vll. auch mal damit "rumspielen" und versuchen, eine geeignete Abschätzung zu finden!
P.S.:
Eine alternative Idee, wie man das ganze rein mit Schulkenntnissen zeigen kann:
Betrachte [mm] $h(x):=h_n(x):=\frac{e^x}{x^n}$
[/mm]
Diese Funktion ist auf [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] differenzierbar mit
[mm] $h'(x)=\frac{e^x*x^n-e^x*n*x^{n-1}}{x^{2n}}=\frac{x*e^x-n*e^x}{x^{n+1}}$
[/mm]
Idee:
Zeige:
Für festes $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $h=h_n$ [/mm] hat Minima an den Stellen $x=n$ vorliegen. Dann kann man sicherlich zeigen, dass eine jede Funktion [mm] $h_n$, [/mm] wenigstens auf dem Bereich [mm] $[n,\infty)$, [/mm] streng konvex ist.
(Okay, in der Schule kennt man den Begriff der (strengen) Konvexität noch nicht, aber ich denke, dass Dir klar ist, wie man das z.B. über die zweite Ableitung nachweisen kann und wie(-so) man daraus folgern kann, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] dann [mm] $h_n(x) \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$; [/mm] man sollte zudem die Monotonie von [mm] $h_n$ [/mm] dort beachten.)
Gruß,
Marcel
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Was mir gerade einfällt wäre:
Fall [mm] x^n [/mm] stärker wächst als [mm] a^x [/mm] (a>1), so muss [mm] \lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{a^x}=0 [/mm] (*) sein.
Da sowohl [mm] \lim_{x \to \infty}x^n=\infty [/mm] als auch [mm] \lim_{x \to \infty}a^x=\infty [/mm] (a>1) gilt, ist (*) nach der Regel de l*Hôpital:
[mm] \lim_{x \to \infty}\frac{n*x^{n-1}}{ln(a)*a^x}=\frac{n}{ln(a)}\lim_{x \to \infty}\frac{x^{n-1}}{a^x} [/mm] (#) (fall der Grenzwert existiert).
Nun ist auch [mm] x^{n-1} [/mm] wieder eine Potenzfunktion, sodass auf (#) wieder die Regel de l'Hôpital angewendet werden kann usw, also nach dem i.-ten Schritt:
[mm] \frac{n!}{(n-i)!ln(a)^i}\lim_{x \to \infty}\frac{x^{n-i}}{a^x}
[/mm]
Ist [mm] n\in\IN\sub \I [/mm] ergibt sich nach dem (i=n)-ten Schritt:
[mm] \frac{n!}{0!ln(a)^n}\lim_{x \to \infty}\frac{x^0}{a^x}=k*\lim_{x \to \infty}\frac{1}{a^x} [/mm] (k>0) [mm] =k*\lim_{x \to \infty}a^{-x}=0
[/mm]
Ist ansonsten [mm] n\not\in\IN\sub \I [/mm] und n>0, so ergibt sich nach dem (i=int(n+1))-ten Schritt für den Grenzwert
[mm] \lim_{x \to \infty}\frac{x^{-k}}{a^x} [/mm] (0<k<1)
[mm] =\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^k*a^x} [/mm] (und da sowohl [mm] x^k [/mm] als auch [mm] a^x [/mm] für [mm] x\to \infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] gehen) = 0
qed
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