azz*+2Re(b*z) +c = 0 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:03 Mi 26.11.2014 | | Autor: | mathe-assi |
| Aufgabe | | Seien a,c ∈ R mit a <> 0, und sei b ∈ C. Man zeige, daß es ein r ∈ R gibt, so daß für alle z ∈ C genau dann azz*+2Re(b*z) +c = 0 gilt, wenn |z+ b/a|=r ist |
Ich bin neu hier - habe bisher immer nur höchst interessiert mitgelesen.
Jetzt habe ich selbst eine Frage - mehr zur Aufgabenstellung.
Habe die Aussage azz* und Re(b*z) umgeformt zu [mm] a(x^2+y^2) [/mm] + 2 (ux-vy) +c umgeformt.
Die Bedingung |z+b/a|=r habe ich als Abstand zwischen z und -b/a interpretiert und gehofft, dass ich irgendwann sehe, was die Aufgabenstellung soll, wenn ich die Aussage so umforme, dass [mm] r^2=... [/mm] so da steht, dass man erkennen kann, dass nicht die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden müsste?! Das gelingt aber nicht in der gewünschten Weise.
Wer kann mir erklären, was ich hier eigentlich tun soll?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Was sind denn $u$ und $v$ bei dir?
Ansonsten gilt doch für alle komplexen Zahlen $z=x+iy$ einfach [mm] |z|=\sqrt{x^2+y^2}. [/mm] d.h. z.B. für $-1=-1+0*i$ gilt [mm] |-1|=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1 [/mm] oder auch [mm] |i|=\sqrt{0^2+1^2}, [/mm] sodass du Wurzeln immer aus reellen, positiven Zahlen ziehst.
Hilft dir das? oder wo sind noch Schwierigkeiten?
|
|
|
| |
|
Sorry. Ich wollte nicht zu weit ausholen, weil mein Ansatz ja vielleicht schon falsch ist.
Ich habe festgelegt: z=x+iy und b=u+iv
Damit habe ich dann azz* und Re(b*z) berechnet. Ebenso |z+b/a|.
Die Antwort hilft mir leider nicht. Ich versuche die Aufgabenstellung zu verstehen!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Mi 26.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Ok, machen wir mal die eine Richtung von links nach rechts.
Du hast also [mm] $a(x^2+y^2)+2(ux-vy)+c=0$ [/mm] gegeben. Jetzt müssen wir herausfinden, was dieses ominöse [mm] $r\in\IR$ [/mm] sein könnte. Gucken wir uns also die rechte Gleichung an:
[mm] |z+\frac{b}{a}|=r \gdw r^2=(x+\frac{u}{a})^2+(y+\frac{v}{a})^2 \gdw ar^2=a(x^2+y^2)+2(ux+vx)+..., [/mm] wenn wir mal [mm] $r\ge [/mm] 0$ voraussetzen.
Und jetzt merke ich, dass wohl Nicht [mm] $\text{Re}(b\cdot [/mm] z)$, sondern [mm] $\text{Re}(b^\*\cdot [/mm] z)$ gemeint sein soll... denn wir wollen ja deine Gleichung irgendwie anwenden. Statt [mm] $a(x^2+y^2)+2(ux-vy)+c=0$ [/mm] sollte es also vermutlich [mm] $a(x^2+y^2)+2(ux+vy)+c=0$ [/mm] heißen.
Jetzt mach du mal weiter. Stelle mal weiter nach $r$ um, sodass am Ende alle Terme mit $x$ und $y$ rausfliegen, weil die Gleichung ja für alle $z$ gelten soll.
|
|
|
| |
|
Das habe ich alles schon so gemacht ...
Mit folgendem Unterschied:
linke Seite heißt Re(b*z)! (steht auch so in der Aufgabenstellung!) --> und deshalb ergibt sich ja das Minuszeichen...
Rechte Seite: ich habe das |z+b/a) als Abstand von z zu -b/a interpretiert --> in den Ausdrücken heißt es [mm] (x-u/a)^2 [/mm] und [mm] (y-v/a)^2 [/mm] ...
Da der Prof einen Fehler (b --> b*) nachträglich korrigiert hat, war ich schon so weit einfach alle Minuszeichen durch Plus zu ersetzen, aber selbst das bringt mich nicht weiter ...
Ich tippe nachher mal alle bisherigen Umformungen ab.
Bin ich denn mit der Idee, [mm] r^2=...>0 [/mm] zu bekommen auf dem richtigen Weg? Angesichts der Zahl c, die ja auch beliebig ist und abgezogen wird, scheint mir das zwar wünschenswert, aber irgendwie nicht nachvollziehbar!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Manchmal empfiehlt es sich nicht, mit Real- und Imaginärteil zu rechnen....
Teufel hat schon recht. In der Aufgabenstellung hat sich wohl der Aufgabensteller verschrieben. Es soll $Re(z* [mm] \overline{b})$ [/mm] lauten.
Setzen wir $u:=z* [mm] \overline{b}$ [/mm] und beachten dass für ein $w [mm] \in \IC$ [/mm] gilt
[mm] $w*\overline{w}=|w|^2$,
[/mm]
so haben wir ( $a [mm] \in \IR [/mm] $ !):
[mm] $|z+\bruch{b}{a}|=r$ [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
(*) [mm] $(z+\bruch{b}{a})*(\overline{z}+\bruch{\overline{b}}{a})=r^2 [/mm] $
Jetzt schön die linke Seite ausmultiplizieren. Dann solltest Du, mit
[mm] $c=\bruch{|b|^2}{a}-ar^2,
[/mm]
bekommen:
[mm] $|z+\bruch{b}{a}|=r [/mm] $ [mm] \gdw $az\overline{z}+2Re(u)+c=0$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Mi 26.11.2014 | | Autor: | mathe-assi |
Der Fehler lag erst beim Prof, dann aber im Missverständnis hier: ich hatte b*z (gemeint b* mal z) geschrieben, weil ich auf die Schnelle den Überstrich (statt *) nicht gefunden hatte.
Setze mich gleich hin und vergleiche bzw. poste meine (angepassten!) Schritte. Bedankt einstweilen.
Vor allem für den Tipp, nicht mit Real- und Imaginärteil zu arbeiten - da kam nur Schrott raus.
|
|
|
| |
|
So, die linke Seite ergibt dann ausmultipliziert
[mm]z*\bar z + z*\bruch{\bar b}{a}+\bar z*\bruch{b}{a}+\bruch{b*\bar b}{a^2}[/mm]
Jetzt sehe ich nicht - sorry - wo die Umformung für c herkommt? c kommt doch nur in der zu zeigenden Aussage vor??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> So, die linke Seite ergibt dann ausmultipliziert
>
>
> [mm]z*\bar z + z*\bruch{b}{a}+\bar z*\bruch{b}{a}+\bruch{b*\bar b}{a^2}[/mm]
Das stimmt nicht. Richtig:
[mm]z*\bar z + z*\bruch{\bar b}{a}+\bar z*\bruch{b}{a}+\bruch{b*\bar b}{a^2}[/mm]
[mm] (b*\bar b=|b|^2)
[/mm]
FRED
>
> Jetzt sehe ich nicht - sorry - wo die Umformung für c
> herkommt? c kommt doch nur in der zu zeigenden Aussage
> vor??
|
|
|
| |
|
Den Tippfehler hatte ich ja schon korrigiert, oder? War halt ein bisschen langsam 
Dass [mm] b*\bar b = |b|^2 [/mm] ist, klar .., aber woher die Umformung für c??
Zitat: [mm]c=\bruch{|b|^2}{a}-ar^2[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Do 27.11.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Den Tippfehler hatte ich ja schon korrigiert, oder? War
> halt ein bisschen langsam
>
> Dass [mm]b*\bar b = |b|^2[/mm] ist, klar .., aber woher die
> Umformung für c??
>
> Zitat: [mm]c=\bruch{|b|^2}{a}-ar^2[/mm]
Zu c wird alles zusammengefasst was noch übrigbleibt.
Was bisher geschah:
[mm] $\left| z + \bruch{b}{a} \right| [/mm] = r [mm] \quad \gdw \quad \left( z +\bruch{b}{a} \right) \left( \overline{z} + \bruch{\overline{b}}{a} \right) [/mm] = [mm] r^2 \quad \gdw \quad az\overline{z} [/mm] + [mm] 2\mbox{Re}(z\overline{b}) [/mm] + [mm] \bruch{|b|^2}{a} [/mm] - [mm] ar^2 [/mm] = 0$
Es ist noch leicht zu zeigen, dass c reell ist.
Mehr wurde über c nicht vorausgesetzt.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 Do 27.11.2014 | | Autor: | mathe-assi |
Danke. Ich hatte die Beiträge noch einmal auf mich wirken lassen und geschlossen, dass es bei der Aufgabe also reicht zu zeigen, dass c reell ist.
Das war je meine Frage nach dem Verständnis der Aufgabe.
So werde ich die Lösung jetzt an- und abgeben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Do 27.11.2014 | | Autor: | mathe-assi |
DANKE nochmal an alle!
Nachdem ich jetzt alles in Ruhe aufgeschrieben habe, wurde mir auch alles klar.
Die Aufgabe war so dann eigentlich in kurzer Zeit und wenigen Schritten erledigt (und ich habe für c exakt das Richtige heraus bekommen).
Da ich im Skript nirgendwo gefunden habe, dass [mm]Re(z* \bar {b})=Re( \bar z *b[/mm] ist und auch nichts zur Summe der beiden Produkte (der komplexen Zahlen mit der konjugiert komplexen anderen Zahl) habe ich dies vorsorglich durch Ausmultiplizieren gezeigt.
Und siehe da: es stimmt
|
|
|
|
