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| Aufgabe | Ein b-adischer Bruch
[mm] a_{−k}...a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}...
[/mm]
heißt periodisch, wenn natürliche Zahlen r, s [mm] \ge1 [/mm] existieren, so dass
[mm] a_{n+s} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] r.
Man beweise: Ein b-adischer Bruch ist genau dann periodisch, wenn er eine rationale Zahl darstellt. |
Hallo noch mal =)
Ich wollte fragen, ob mein Beweis zur Aufgabe richtig sei?
Zunächst einmal stellen wir periodische Zahlen x wie folgt dar:
[mm] x=a_{1}+a_{2}+...a_{n}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)+k*s}}
[/mm]
Hierbei sind [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] rationale Zahlen, welche den nicht-periodischen Teil einer periodischen Zahl x darstellen;
n bezeichne dabei die n-te Nachkommastelle.
[mm] p_{1},...,p_{s} [/mm] sind die Ziffern, die periodisch wiederholt werden mit der Periodenlänge s.
Nun einige Beispiele zur Veranschaulichung:
[mm] \bruch{1}{3}=0,\overline{3}=\underbrace{a_{1}+a_{2}+...a_{n}}_{=0}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3}{10^{(0+1)+k*1}} =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3}{10^{1+k}} [/mm]
[mm] 1,2\overline{45}=\bruch{6}{5}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{45}{10^{(1+2)+k*2}} =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{45}{10^{3+2*k}} [/mm]
Da nun [mm] a_{1},...,a_{n}\in\IQ [/mm] und weil [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)+k*s}} [/mm] die geometrische Reihe enthält, welche sich stets in einen Bruch, also in eine rationale Zahl, umwandeln lässt, gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)+k*s}}\Rightarrow \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)}}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{k*s}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \underbrace{\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)}}}_{\in\IQ}*\underbrace{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{k*s}}}_{\in\IQ} \in\IQ [/mm] .
Daraus folgt, dass auch die Summe [mm] a_{1}+a_{2}+...a_{n}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)+k*s}} \in\IQ [/mm] ist, da die additive Verknüpfung in [mm] \IQ [/mm] abgeschlossen ist.
Es stellt also jeder periodische b-adische Bruch eine rationale Zahl dar.
Auch umgekehrt stellt jede rationale Zahl einen periodischen b-adischen Bruch dar, weil:
(i) [mm] x\in\IQ [/mm] ist periodisch mit [mm] p_{s}\not=0 [/mm] und hat somit eine Darstellung der Form [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)+k*s}}
[/mm]
(ii) [mm] x\in\IQ [/mm] ist periodisch mit [mm] p_{s}=0 [/mm] und hat somit eine Darstellung der Form [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{0}{10^{(n+s)+k*s}}=\bruch{0}{10^{1}}*\bruch{0}{10^{2}}+...+\bruch{0}{10^{k}}=0,00000....
[/mm]
Somit sind alle rationalen Zahlen [mm] x\in\IQ [/mm] periodisch und zwar entweder mit Elementen der Periode mit [mm] p_{s}\not=0 [/mm] oder mit [mm] p_{s}=0.
[/mm]
Damit wäre bewiesen, dass ein b-adischer Bruch genau dann periodisch ist, wenn er eine rationale Zahl darstellt.
Freue mich über jede Rückmeldung!
Vielen Dank!
Lieben Gruß, friekeline =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Di 16.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo friekeline,
> Man beweise: Ein b-adischer Bruch ist genau dann
> periodisch, wenn er eine rationale Zahl darstellt.
"genau dann, wenn" ist hier leider falsch. Wird eine rationale Zahl als b-adischer Bruch dargestellt, so ist dieser entweder von endlicher Länge oder aber periodisch.
Nimm b=10 und die beiden rationalen Zahlen [mm] \bruch{1}{7} [/mm] und [mm] \bruch{1}{8192} [/mm] als Anschauung.
Das Problem bei unvollständigen Aufgaben wie dieser ist, dass der Beweis für die Aussage kaum zu finden sein wird, wenn die Aussage in der vorliegenden Form falsch ist.
Grüße
reverend
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> Hallo friekeline,
>
> > Man beweise: Ein b-adischer Bruch ist genau dann
> > periodisch, wenn er eine rationale Zahl darstellt.
>
> "genau dann, wenn" ist hier leider falsch. Wird eine
> rationale Zahl als b-adischer Bruch dargestellt, so ist
> dieser entweder von endlicher Länge oder aber periodisch.
Hallo,
"von endlicher Länge" ist doch auch periodisch.
Es wiederholt sich halt die 0.
Gruß v. Angela
>
> Nimm b=10 und die beiden rationalen Zahlen [mm]\bruch{1}{7}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{8192}[/mm] als Anschauung.
>
> Das Problem bei unvollständigen Aufgaben wie dieser ist,
> dass der Beweis für die Aussage kaum zu finden sein wird,
> wenn die Aussage in der vorliegenden Form falsch ist.
>
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Di 16.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Angela,
> "von endlicher Länge" ist doch auch periodisch.
> Es wiederholt sich halt die 0.
Da hast Du auch Recht. Ich habe die Konvention der "abbrechenden" Darstellung für eine Regel gehalten. Sie ist natürlich sinnlos, wenn der b-adische Bruch immer eine "unendliche" Schreibweise hat. Dann muss sich ggf. eben die Null wiederholen. Danke für den Hinweis.
Liebe Grüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela,
>
> > "von endlicher Länge" ist doch auch periodisch.
> > Es wiederholt sich halt die 0.
>
> Da hast Du auch Recht. Ich habe die Konvention der
> "abbrechenden" Darstellung für eine Regel gehalten. Sie
> ist natürlich sinnlos, wenn der b-adische Bruch immer eine
> "unendliche" Schreibweise hat. Dann muss sich ggf. eben die
> Null wiederholen. Danke für den Hinweis.
>
> Liebe Grüße,
> reverend
>
Hallo reverend,
wenn man Nullen wiederholen muß, so heißt ein b-adischer Bruch ein
p-fälzischer Bruch.
Grüße aus Baden vom FRED
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> Ein b-adischer Bruch
>
> [mm]a_{−k}...a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}...[/mm]
>
> heißt periodisch, wenn natürliche Zahlen r, s [mm]\ge1[/mm]
> existieren, so dass
>
> [mm]a_{n+s}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] r.
>
> Man beweise: Ein b-adischer Bruch ist genau dann
> periodisch, wenn er eine rationale Zahl darstellt.
> Hallo noch mal =)
>
> Ich wollte fragen, ob mein Beweis zur Aufgabe richtig sei?
Hallo,
allein schon deshalb, weil in der Aufgabe nach b-adischen Brüchen gefragt ist, Du Deinen Beweisversuch aber lediglich für b=10 machst, kann das nicht richtig sein.
Es ist aber trotzdem die Idee, der Frage erstmal für b=10 auf den Grund zu gehen, nicht so übel, immerhin sind uns die Dezimalzahlen ja sehr vertraut.
>
> Zunächst einmal stellen wir periodische Zahlen x wie folgt
> dar:
>
> [mm]x=a_{1}+a_{2}+...a_{n}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)+k*s}}[/mm]
> Hierbei sind [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] rationale Zahlen, welche den
> nicht-periodischen Teil einer periodischen Zahl x
> darstellen;
Hinter [mm] a_1,..., a_n [/mm] hast Du wohl Zehnerpotenzen vergessen, oder was meinst Du damit?
> n bezeichne dabei die n-te Nachkommastelle.
> [mm]p_{1},...,p_{s}[/mm] sind die Ziffern, die periodisch wiederholt
> werden mit der Periodenlänge s.
>
> Nun einige Beispiele zur Veranschaulichung:
Die haben in einen Beweis nichts zu suchen - trotzdem sind Beispiele gut.
>
> [mm]\bruch{1}{3}=0,\overline{3}=\underbrace{a_{1}+a_{2}+...a_{n}}_{=0}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3}{10^{(0+1)+k*1}} =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3}{10^{1+k}}[/mm]
>
> [mm]1,2\overline{45}=\bruch{6}{5}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{45}{10^{(1+2)+k*2}} =\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{45}{10^{3+2*k}}[/mm]
Ich frag mich, wo ich hier jetzt Deine [mm] a_1,...,a_n [/mm] von oben finde.
>
> Da nun [mm]a_{1},...,a_{n}\in\IQ[/mm]
Nunja, in [mm] \IQ [/mm] sind sie, aber man könnte das ja noch genauer einschränken, oder?
> und weil
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)+k*s}}[/mm]
> die geometrische Reihe enthält,
Wo? Und Wie?
> welche sich stets in einen
> Bruch, also in eine rationale Zahl, umwandeln lässt,
???
Du meinst den Grenzwert?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\wurzel{2}}{2})^k [/mm] ist aber keine rationale Zahl.
> gilt:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)+k*s}}\Rightarrow \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)}}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{k*s}}[/mm]
Statt des Pfeils meinst Du wohl ein Gleichheitszeichen.
Und statt dessen, was hinter dem Gleichheitszeichen steht, vielleicht eher
[mm]\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)}}*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{10^{k*s}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \underbrace{\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)}}}_{\in\IQ}*\underbrace{\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{k*s}}}_{\in\IQ} \in\IQ[/mm]
Was ist denn jetzt der Reihenwert? Man kann das ja ausrechnen.
Bisher ist es nur eine Behauptung, daß der Reihenwert rational ist.
> .
>
> Daraus folgt, dass auch die Summe
> [mm]a_{1}+a_{2}+...a_{n}+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)+k*s}} \in\IQ[/mm]
> ist, da die additive Verknüpfung in [mm]\IQ[/mm] abgeschlossen
> ist.
Dem folge ich.
>
> Es stellt also jeder periodische b-adische Bruch eine
> rationale Zahl dar.
> Auch umgekehrt stellt jede rationale Zahl einen
> periodischen b-adischen Bruch dar, weil:
>
> (i) [mm]x\in\IQ[/mm] ist periodisch
Das ist lediglich eine Behauptung und ein wesentlicher Teil dessen, was hier bewiesen werden soll.
> mit [mm]p_{s}\not=0[/mm] und hat somit
> eine Darstellung der Form
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{p_{1}p_{2}...p_{s}}{10^{(n+s)+k*s}}[/mm]
>
> (ii) [mm]x\in\IQ[/mm] ist periodisch mit [mm]p_{s}=0[/mm] und hat somit eine
> Darstellung der Form
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{0}{10^{(n+s)+k*s}}=\bruch{0}{10^{1}}*\bruch{0}{10^{2}}+...+\bruch{0}{10^{k}}=0,00000....[/mm]
??? Du redest gerade über x=0?
>
> Somit sind alle rationalen Zahlen [mm]x\in\IQ[/mm] periodisch und
> zwar entweder mit Elementen der Periode mit [mm]p_{s}\not=0[/mm]
> oder mit [mm]p_{s}=0.[/mm]
>
>
> Damit wäre bewiesen,
Schön wär's...
Ich sag' mal so: das, was Du hier postest, sind (abgesehen von den Ungereimtheiten) Vorüberlegungen, die ich anstellen würde, bevor ich allgemein für b-adische zahlen beweise.
An Deiner Stelle würde ich mal versuchen, einen sauberen Beweis fü b=10 zu fabrizieren.
Die Schreibweise [mm] p_1p_2...p_s [/mm] ist äußerst mißverständlich.
Du meinst in etwas verständlicherer Notation sicher [mm] (p_0p_1...p_s)_{10}, [/mm] also [mm] p_0*10^s+p_1*10^{s-1}+...+p_{s-1}*10^{1}+p_s*10^0.
[/mm]
Über die geometrische Reihe und ihren Wert solltest Du Dich auch nochmal informieren.
Wenn es Dir dann für b=10 schön gelungen ist, kannst Du Dich an einen Beweis allgemein für b machen.
Gruß v. Angela
P.S.: Ein Eintrag im Profil wäre nicht übel - ich kann im Moment schlecht einschätzen, welches Niveau von Dir erwartet wird.
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