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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 26.07.2010 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Beim babylonischen Wurzelziehen geht man aus von [mm] 0
[mm] b_{n+1}:=\bruch{1}{2}(a_{n}+b_{n}) [/mm] und [mm] a_{n+1}:=\bruch{a_{n}b_{n}}{b_{n+1}}
[/mm]
(a) Beweisen Sie [mm] b_{n+1}-a_{n+1}=\bruch{(b_{n}-a_{n})^2}{4b_{n+1}}
[/mm]
(b) Ausgehend von x:=11, [mm] b_{0}:=\bruch{11}{3} [/mm] und [mm] a_{0}:=3 [/mm] berene man [mm] a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} [/mm] und zeige mit (a): [mm] b_{2}-\wurzel{11}<\bruch{1}{10000} [/mm] |
Hey, bevor ich den Nachmittag genießen kann quählt mich noch obiges Problem.
Teilaufgabe (a) hab ich schon bewiesen und auch [mm] a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} [/mm] für Aufgabenteil (b) berechnet.
Demnach gilt:
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{33}{10} [/mm]
[mm] b_{1} [/mm] = [mm] \bruch{10}{3}
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{660}{199} [/mm]
[mm] b_{2} [/mm] = [mm] \bruch{199}{60}
[/mm]
Leider weiß ich nicht wie ich mit Hilfe von (a) die Ungleichung [mm] b_{2}-\wurzel{11}<\bruch{1}{10000} [/mm] zeigen soll. Wäre nett wenn ihr mir da einen Denkanstoß geben könntet. Ich mein, ich kann ja schlecht einfach den Wert für [mm] b_{2}=\bruch{199}{60} [/mm] in die Ungleichugn einsetzen und den Wert ausrechnen. Dann erkennt man ja sofort, dass die Ungleichung stimmt, aber dann hab ich Aufgabenteil (a) ja nicht benutzt ;)
Grüße
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Huhu,
> Ich mein, ich kann ja schlecht einfach den Wert
> für [mm]b_{2}=\bruch{199}{60}[/mm] in die Ungleichugn einsetzen und
> den Wert ausrechnen. Dann erkennt man ja sofort, dass die
> Ungleichung stimmt, aber dann hab ich Aufgabenteil (a) ja
> nicht benutzt ;)
wie erkennst du denn dann, dass die Ungleichung stimmt? Bedenke, dass du den Wert für [mm] \sqrt{11} [/mm] ja gar nicht kennst und somit die Differenz davon zu [mm] b_2 [/mm] gar nicht berechnen kannst, selbst wenn du [mm] b_2 [/mm] einsetzt 
Also musst du irgendwie die [mm] \sqrt{11} [/mm] da wegbekommen, als Tip:
[mm] $a_n [/mm] < [mm] \sqrt{11} [/mm] < [mm] b_n$
[/mm]
Schätze damit mal die Differenz nach oben ab, so dass du a) verwenden kannst (und ja, dann ist es nur einsetzen).
MFG,
Gono.
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