basis von R^{3x3) mit bedingun < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 So 14.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Es sei U der UNtervektorraum von [mm] R^{3x} [/mm] der aus allen Matrizen besteht mit
sämtlichen Zeilensummen, Spaltensummen und Diagonalensummen = 0
Bestimmen Sie eine Basis von U |
Hallo,
das Basis aufstellen bereitet mir immer wieder Schwierigkeiten.
Ich habe mir überlegt, dass es nur funktionieren kann, wenn der mittlere Eintrag der Matrix gleich 0 ist.
dann ergeben sich 4 Möglichkeiten mit ihren Vielfachen.
1:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 &1 & -1 }
[/mm]
2:
[mm] \pmat{ 0& 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 &-1 & 0 }
[/mm]
3: [mm] \pmat{ 1& 0 & -1\\ -2 & 0 & 2 \\ 1 &0 & -1 }
[/mm]
4: [mm] \pmat{ -1 & 2& -1\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 &-2 & 1}
[/mm]
Typ 2 und Typ 1 sind jeweils nur die zeilen vertauscht.
kann ich für die Basis daher einen von Ihnen weglassen?
oder wie bestimme ich nun die Basis?
Typ 3 und Typ 4 sind auf jeden fall linear unabhängig mit einem der anderen,
hat mir jemand nen tipp, wie man das viell auch schneller hinbekommen kann?
habe ziemlich lang überlegt bis ich da drauf gekommen bin
danke!
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> Es sei U der UNtervektorraum von [mm]R^{3x}[/mm] der aus allen
> Matrizen besteht mit
> sämtlichen Zeilensummen, Spaltensummen und
> Diagonalensummen = 0
> Bestimmen Sie eine Basis von U
> Hallo,
>
> das Basis aufstellen bereitet mir immer wieder
> Schwierigkeiten.
>
> Ich habe mir überlegt, dass es nur funktionieren kann,
> wenn der mittlere Eintrag der Matrix gleich 0 ist.
> dann ergeben sich 4 Möglichkeiten mit ihren Vielfachen.
> 1:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 &1 & -1 }[/mm]
>
> 2:
> [mm]\pmat{ 0& 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 &-1 & 0 }[/mm]
>
> 3: [mm]\pmat{ 1& 0 & -1\\ -2 & 0 & 2 \\ 1 &0 & -1 }[/mm]
>
> 4: [mm]\pmat{ -1 & 2& -1\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 &-2 & 1}[/mm]
>
> Typ 2 und Typ 1 sind jeweils nur die zeilen vertauscht.
> kann ich für die Basis daher einen von Ihnen weglassen?
Hallo,
Nr. 1 und Nr. 2 sind jedenfalls keine Vielfachen voneinander, also nicht linear abhängig.
>
> oder wie bestimme ich nun die Basis?
> Typ 3 und Typ 4 sind auf jeden fall linear unabhängig mit
> einem der anderen,
Um zu beweisen, daß dies eine Basis ist, müßtest Du nun "irgendwie" zeigen, daß die vier Matrizen erstens den Raum der Matrizen mit den geforderten Eigenschaften erzeugen und daß sie zweitens linear unabhängig sind.
Ich habe Dein Ergebnis bisher nicht geprüft.
> hat mir jemand nen tipp, wie man das viell auch schneller
> hinbekommen kann?
> habe ziemlich lang überlegt bis ich da drauf gekommen
> bin
Ich bin eher nicht die große Denkerin...
Ich würde das so machen:
sei [mm] \pmat{a&b&c\\d & ...&...\\ ...} [/mm] aus dem fraglichen Raum.
Daraus ergibt sich ein LGS mit 8 Gleichungen und 9 Variablen, welches ich nun lösen würde.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 14.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hm,
die idee mit den gleichungssystemen hatte ich auch
aber das war mir echt zu viel,...
hantiere nicht so gern mit so vielen gleichungen...
habe nun gezeigt, dass die 4 matrizen linear unabhängig sind.
wie kann ich nun zeigen, dass sie wieder eine solche matrix ergeben
lg
katja
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> hm,
>
> die idee mit den gleichungssystemen hatte ich auch
> aber das war mir echt zu viel,...
> hantiere nicht so gern mit so vielen gleichungen...
>
> habe nun gezeigt, dass die 4 matrizen linear unabhängig
> sind.
> wie kann ich nun zeigen, dass sie wieder eine solche
> matrix ergeben
Hallo,
ob sie wieder solch eine Matrix ergeben, steht eigentlich nicht zur Debatte, denn bei den ganzen Bemühungen war ja bereits als Voraussetzung zu verwenden, daß es sich um einen VR handelt.
Zu zeigen ist etwas anderes: Du mußt vorrechnen, daß Du mit Deinen 4 Matrizen wirklich eine jede Matrix dieses Raumes darstellen kannst - also jede Matrix die diese 8 Gleichungen erfüllt.
(Mit der linearen Unabhängigkeit bin ich gerade etwas skeptisch übrigens. Sicher, daß Deine Rechnung stimmt?)
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 So 14.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe mir überlegt, dass es nur funktionieren kann,
> wenn der mittlere Eintrag der Matrix gleich 0 ist.
Das hilft ja, aber warum gilt das denn?
Ich würde es per se wie Angela machen. Man findet doch schnell:
[mm]\pmat{ a & b & -(a+b) \\ c & d & -(c+d) \\ -(a+c) & -(b+d) & a+b+c+d }[/mm]
Dann folgt doch die Diagonale von links oben: [m]-(a+b+c+d)=a+d[/m], also [m]b+c=-2(a+d)[/m]. Weiter ist die Diagonale von links unten [m]d=a+b+a+c[/m]. Einsetzen und [m]d=0[/m] folgern. Jetzt bleiben [m]a,b,c[/m], wobei man eine Variable noch elimnieren kann durch die andern zwei. Dann schaut man sich [m]a=1,b=0[/m], [m]a=0,b=1[/m], die Matrizen sind dann lin.unabh. und in U, und ist fertig.
> dann ergeben sich 4 Möglichkeiten mit ihren Vielfachen.
> 1:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 &1 & -1 }[/mm]
>
> 2:
> [mm]\pmat{ 0& 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 &-1 & 0 }[/mm]
Ist eine Basis.
> 3: [mm]\pmat{ 1& 0 & -1\\ -2 & 0 & 2 \\ 1 &0 & -1 }[/mm]
Ist die Summe von 1 und 2
> 4: [mm]\pmat{ -1 & 2& -1\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 &-2 & 1}[/mm]
(4)=(2)-(1)
> Typ 2 und Typ 1 sind jeweils nur die zeilen vertauscht.
> kann ich für die Basis daher einen von Ihnen weglassen?
Die beiden sind lin.unabh. Es gibt im Allgemeinen ziemlich viele Basen.
> habe ziemlich lang überlegt bis ich da drauf gekommen
> bin
Aber wie du drauf gekommen bist, nicht. Und wohlmöglich wären da bloß eins, zwei Kniffe für eine Lösung notwendig gewesen - du kontnest ja auch finden, dass die mittlere Zahl 0 ist.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 So 14.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok,
hm das stimmt natürlich,
die idee mit dem
a b -(a+b) aufzustellen ist super,
dadurch reduziert sich das ganze ganz schoen
danke fuer den guten tip!
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