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| Aufgabe | sei T [mm] \subseteq [/mm] V und S [mm] \subseteq [/mm] V mit V als vektorraum:
S [mm] \cup [/mm] T ist EZS (erzeugendensystem) , S [mm] \backslash [/mm] T ist endlich
[mm] \gdw [/mm] V hat Basis B mit T [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] S [mm] \cup [/mm] T ,d.h.
T soll mit elementen aus dem EZS S [mm] \cup [/mm] T zu einer Basis ergänzt werden können. |
kann mir jemand diesen satz genauer erklären?
wie kann man denn T mit einem x [mm] \in [/mm] S [mm] \cup [/mm] T zu einer basis von V "ergänzen"? ich hoffe ,jemand kann mir weiterhelfen. im moment versuche ich mir das bildlich vorzustellen,klappt nur bis jetzt noch nicht ganz.
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> sei T [mm]\subseteq[/mm] V und S [mm]\subseteq[/mm] V mit V als vektorraum:
> S [mm]\cup[/mm] T ist EZS (erzeugendensystem) , S [mm]\backslash[/mm] T ist
> endlich
> [mm]\gdw[/mm] V hat Basis B mit T [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] S [mm]\cup[/mm] T
> ,d.h.
> T soll mit elementen aus dem EZS S [mm]\cup[/mm] T zu einer Basis
> ergänzt werden können.
> kann mir jemand diesen satz genauer erklären?
> wie kann man denn T mit einem x [mm]\in[/mm] S [mm]\cup[/mm] T zu einer basis
> von V "ergänzen"?
Hallo,
davon, daß T mit nur einem x aus S zu einer Basis zu ergänzen ist, steht ja nichts da.
Aber in dem, was Du schreibst, ist sowieso der Wurm drin. Das stimmt nämlich so, wie Du es hier präsentierst, nicht.
Gegenbeispiel:
[mm] V:=\IR^3
[/mm]
[mm] T:=\{\vektor{1 \\0\\0},\vektor{0 \\ 1\\0},\vektor{1 \\ 1\\0}\} S:=\{\vektor{0 \\0\\1},\vektor{2 \\ 2\\2}\}
[/mm]
Ganz gewiß erzeugt T [mm] \cup [/mm] S den [mm] \IR^3, [/mm] und ebenso gewiß kann man T durch nichts zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen.
Warum nicht?
So.
Nun lies Dir nochmal den Ergänzungssatz im Skript durch, und schau, ob Du Wesentliches vergessen hast...
Gruß v. Angela
(Auf "S [mm] \backslashT [/mm] ist endlich" kann ich mir auch nicht so recht einen Reim machen.)
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hallo angela,
ich meinte S [mm] \backslash [/mm] T ist endlich.
vielleicht kann man T nicht zu einer basis ergänzen ,weil hier
T [mm] \supseteq [/mm] B [mm] \supseteq [/mm] S [mm] \cup [/mm] T nicht mehr gegeben ist?
außerdem hab ich glaube ich vielleicht vergessen zu erwähnen ,dass
T linear unabhängig sein soll.
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> außerdem hab ich glaube ich vielleicht vergessen zu
> erwähnen ,dass
> T linear unabhängig sein soll.
Hallo,
mach Dir zunächst unbedingt klar, warum dieses "T ist linear unabhängig" essentiell ist: nie, nie, nie kann T Teilmenge irgendeiner Basis B sein, wenn T nicht linear unabhängig ist.
Der Ursprung Deiner Frage war ja, wie der Satz zu verstehen ist.
Ich gebe jetzt ein Beispiel. Laß uns als Vektorraum den [mm] \IR_{\le 5}[x] [/mm] nehmen, den Raum der reellen Polynome vom Höchstgrad 5.
Es ist [mm] T:=\{ x. x+x^2} [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge von [mm] \IR_{\le 3}[x] [/mm] .
Sei S:={ x, x+2, x+3, [mm] x^3-x, x^4, x^5+x^3-x, x^5\}
[/mm]
Überzeuge Dich davon daß T [mm] \cup [/mm] S ein Erzeugendensystem ist.
Der Satz garantiert mir nun den Erfolg bei der Suche nach Vektoren in S bzw. S \ T, die meine Menge T zu einer Basis ergänzen.
Und tatsächlich werde ich fündig: [mm] T\cup \{x+2,x^3-x, x^4, x^5\}.
[/mm]
Für endliche Vektorräume gibt es den Basisergänzungssatz in folgender, meiner Ansicht nach besser zu merkenden Formulierung:
Wenn A eine linear unabhängige Teilmenge von V ist und E ein Erzeugendensystem, so kann man A durch Vektoren aus E zu einer Basis von V ergänzen.
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um mich zu überzeugen müsste : S [mm] \cup [/mm] T ist dann ein EZS vom [mm] \IR_{\le 3}[x],
[/mm]
wenn:
L(S [mm] \cup [/mm] T) = [mm] \IR_{\le 3}[x] [/mm] mit
L(S [mm] \cup [/mm] T) = [mm] \{ \summe_{i=1}^{m} \lambda_{i} x_{i} mit x_{i} \in S \cup T ,\lambda_{i} \in \IR,m \in \IN }
[/mm]
da ich drei vektoren hier nehmen kann ,ist dies deswegen offensichtlich?
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> um mich zu überzeugen müsste : S [mm]\cup[/mm] T ist dann ein EZS
> vom [mm]\IR_{\le 3}[x],[/mm]
> wenn:
> L(S [mm]\cup[/mm] T) = [mm]\IR_{\le 3}[x][/mm] mit
> L(S [mm]\cup[/mm] T) = [mm]\{ \summe_{i=1}^{m} \lambda_{i} x_{i} mit x_{i} \in S \cup T ,\lambda_{i} \in \IR,m \in \IN }[/mm]
>
> da ich drei vektoren hier nehmen kann ,ist dies deswegen
> offensichtlich?
Hallo,
leider hatte ich im vorhergehenden Post einen dummen Tippfehler, welchen ich nun korrigiert habe. Es muß dort [mm] \IR_{\le 5}[x] [/mm] (5! Nicht 3.) heißen, damit es vollständig zu dem paßt, was ich geschrieben habe.
> L(S [mm]\cup[/mm] T) = [mm]\IR_{\le 5}[x][/mm]
Ja, Du mußt dazu schauen, ob die Vektoren in S [mm]\cup[/mm] T den kompletten Raum aufspannen.
> da ich drei vektoren hier nehmen kann ,ist dies deswegen
> offensichtlich?
Hm. Ich weiß nun wirklich nicht was Du meinst mit den drei Vektoren,
und ich finde es auch nicht so ganz offensichtlich, daß es sich um ein Erzeugendensystem handelt.
Ich bin mir im Moment nicht ganz sicher, wo Dein Problem steckt: beim Verständnis des Satzes oder bei der technischen Umsetzung der Prüfung auf Erzeugendensystem. Wenn es letzteres ist, stell dieses eher technische Problem einfach mal zurück, und beachte folgendes:
Es IST [mm] T\cup [/mm] S ein Erzeugendensystem, und T ist linear unabhängig, und es ist mir gelungen, T durch Vektoren aus S zu einer Basis des [mm] \IR_{\le 5}[x] [/mm] zu ergänzen.
Und daß mir solch eine Ergänzung in jedem Fall unter den entsprechenden Voraussetzungen gelingt, sagt mir der Basisergänzungssatz.
Gruß v. Angela
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danke angela,
ich habe bald eine mündliche prüfung und weiß nicht genau ,was er da fragen wird,aber wahrscheinlich hast du wirklich recht,das theoretische sollte wahrscheinlich doch im vordergrund stehen.wozu ich ihn allerdings brauchen könnte ,wäre zum beweis des dimensionssatzes ,der in der prüfung auch abgefragt wird.außerdem soll ich auch die beweisidee zum basisergänzungssatz verinnerlicht haben. für mich ist das ein schwieriges thema,an dem ich jetzt dransitze.wenn mengenlehre im spiel ist ,muss ich immer aufpassen ,mich nicht zu vertütteln. es kann also sein ,das ich demnächst weitere fragen stellen werde zu meinem lieblingsthema
basis,dimension,EZS usw.
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> aber wahrscheinlich hast du wirklich
> recht,das theoretische sollte wahrscheinlich doch im
> vordergrund stehen
Hallo,
ich hoffe, Du hast mich nicht falsch verstanden. Ich meine durchaus, daß man in der Lage sein muß zu zeigen, daß irgendetwas ein Erzeugendensystem ist.
Ich habe das nur zugunsten der eigentlichen Fragestellung zurückgestellt, damit wir über technischen Details nicht den Blick dafür verlieren, was Du eigentlich wissen solltest.
> es kann also sein ,das ich demnächst weitere fragen stellen werde zu meinem lieblingsthema
basis,dimension,EZS usw.
Dazu ist das Forum ja da.
Gruß v. Angela
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jetzt hast du mich aber neugierig gemacht,wie könnte man denn nun eine solches erzeugendensystem finden? es müsste doch so sein ,dass sich jeder vektor aus V durch die vektoren aus dem EZS linear kombinieren ließe?
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> jetzt hast du mich aber neugierig gemacht,wie könnte man
> denn nun eine solches erzeugendensystem finden? es müsste
> doch so sein ,dass sich jeder vektor aus V durch die
> vektoren aus dem EZS linear kombinieren ließe?
Ja, jedes Element aus V mußt Du darstellen können.
Bzgl. des [mm] \IR_{\le5}[x] [/mm] bist Du ja in der glücklichen Situation, daß Du bereits eine Basis kennst: [mm] (1,x,x^2,x^3,x^4,x^5).
[/mm]
Wenn Du zeigen kannst, daß Du aus Elementen der Dir vorliegenden Menge jeden dieser Basisvektoren kombinieren kannst, bist Du fertig, denn dann kannst Du natürlich jedes Element darstellen.
Alternativ kannst von den Vektoren der Dir vorliegenden Mengedie Koordinatenvektoren bzgl. der Basis [mm] (1,x,x^2,x^3,x^4,x^5) [/mm] aufstellen, diese in eine Matrix stecken und deren Rang ermitteln. Ist er gleich der Dimension des vektorraumes, so ist die Menge ein Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
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hallo angela,
jetzt hab ich aber eine doofe frage :
was ist denn ein koordinatenvektor bzw. wie sieht der aus?
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> hallo angela,
> jetzt hab ich aber eine doofe frage :
> was ist denn ein koordinatenvektor bzw. wie sieht der aus?
Ich sag's Dir mit einem Beispiel:
der Koordinatenvektor von [mm] x^5+x^3-x [/mm] bzgl. der Basis [mm] (1,x,x^2,x^3,x^5) [/mm] ist [mm] \vektor{0\\ -1\\0\\1\\ 0\\1}, [/mm] denn [mm] x^5+x^3-x =0*1+(-1)*x+0*x^2+1*x^3+0*x^4+1*x^5.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:40 Do 11.10.2007 | | Autor: | pumpernickel |
vielen dank
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ich hätte da noch eine frage zur linearen unabhängigkeit von T:
T muss deswegen linear unabhängig sein,weil sich T zu einer basis von
S [mm] \cup [/mm] T ergänzen lassen soll und eine basis nun einmal ein linear unabhängiges erzeugendensystem ist.genauer:
die elemente von S [mm] \cup [/mm] T müssen sich linear kombinieren lassen ,um T zu ihrer basis zählen zu dürfen ,was ich vorhin durch die lineare hülle verdeutlichen wollte.
stimmt das so ,wie ich es sage?
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> ich hätte da noch eine frage zur linearen unabhängigkeit
> von T:
> T muss deswegen linear unabhängig sein,weil sich T zu
> einer basis von
> S [mm]\cup[/mm] T ergänzen lassen soll und eine basis nun einmal
> ein linear unabhängiges erzeugendensystem ist.
Hallo,
genau das ist der Grund. Wäre T nicht linear unabhängig, könnte T so klein sein wie es will und hätte doch keinerlei Chance, eine Basis zu werden.
genauer:
> die elemente von S [mm]\cup[/mm] T müssen sich linear kombinieren
> lassen ,um T zu ihrer basis zählen zu dürfen ,was ich
> vorhin durch die lineare hülle verdeutlichen wollte.
Das verstehe ich nicht.
Gruß v. Angela
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danke ,dass Du reinschaust Angela,um das zu klären muss ich erstmal etwas fragen:
S/T soll ja endlich viele elemente enthalten ,und das geht doch nur ,falls
T linear unabhängig ist,sonst dürfte T (und damit S [mm] \cup [/mm] T ) unendlich viele elemente enthalten . stimmt das so?
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> S/T soll ja endlich viele elemente enthalten ,und das geht
> doch nur ,falls
> T linear unabhängig ist,sonst dürfte T (und damit S [mm]\cup[/mm]
> T ) unendlich viele elemente enthalten . stimmt das so?
Hallo,
ich glaube, daß Du gerade S [mm] \cup [/mm] T und die lineare Hülle dieser Menge munter vermischst, kann das sein?
Jedenfalls stimmt es nicht, was Du schreibst.
Schau:
Wir betrachten jetzt den vektorraum [mm] \IR^3.
[/mm]
[mm] T:=\{\vektor{1 \\ 0\\0}, \vektor{2 \\ 0\\0}\} S=\{ \vektor{2 \\ 0\\0}, \vektor{3 \\ 0\\0}, \vektor{0 \\ 1\\0}, \vektor{0 \\ 2\\0}, \vektor{0 \\ 0\\1}\}.
[/mm]
Es ist offensichtlich [mm] T\cup [/mm] S ein Erzeugendensystem. und es ist S / T endlich, obgleich T nicht linear unabhängig ist.
Ich verstehe immer noch nicht genau, worüber Du nachdenkst.
Ist es die Bedingung, daß S / T endlich ist?
Die dürfte damit zusammenhängen, daß auch unendlichdimensionale Vektorräume in die Betrachtung einbezogen sind, und ich glaube, daß beweistechnische Gründe dahinterstecken, damit man zum Beweis nicht zu viel Vorwissen verwenden muß. (Ich schreibe: "ich glaube", und das meine ich auch so. "Wissen" tue ich nicht, ob das wirklich der Grund ist.)
Oft wird der Basisergänzungssatz zunächst ja überhaupt nur für endl. dimensionale Vektorräume bewiesen, und ich würde mich an Deiner Stelle auch erstmal darauf konzentrieren, die Aussagen für Vektorräume von endlicher Dimension zu verstehen.
Gruß v. Angela
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