bed. E-Wert / Unformung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Ich beschäftige mich zur Zeit mit der Projektionseigenschaft für bedingte Erwartungswerte und hab bzgl. des Beweises Unklarheiten.
Projektionseigenschaft :
Für [mm] E ( \cdot \ | \ \mathcal F ) [/mm] gilt P. f.s. :
Sind [mm] \mathcal F_1 \subset \mathcal F_2 \subset A [/mm] [mm] \sigma [/mm] - Algebren , so gilt:
[mm] E(E(X \ | \ \mathcal F_2 ) \ | \ \mathcal F_1 ) = E(X \ | \ \mathcal F_1 ) [/mm]
Beweis :
Für [mm] T \in \mathcal F_1 [/mm] gilt:
[mm] \integral_T E(X \ | \ \mathcal F_1 ) dP = \integral_T X dP = \integral_T E(X \ | \ \mathcal F_2 ) dP = \integral_T E( E(X \ | \ \mathcal F_2) \ | \ \mathcal F_1 ) \ dP [/mm]
Also ist [mm] E( E(X \ | \ \mathcal F_2) \ | \ \mathcal F_1 ) [/mm] eine Version von [mm] E(X \ | \ \mathcal F_1 ) [/mm].
Meine Frage ist nun die Folgende:
Ich weiß aus der folgenden definierenden Gleichung aus der Vorlesung:
[mm] \integral_T E(X \ | \ \mathcal F ) dP = \integral_T X dP \ \forall T \in \mathcal F [/mm]
dass das erste Gleichheitszeichen gilt.
Jedoch ist mir unklar, warum das 2. & 3. Gleichheitszeichen gelten..
Gilt das 2. weil, wenn [mm] T \in \mathcal F_1 [/mm] ist, dann ist es aufgrund [mm] \mathcal F_1 \subset \mathcal F_2 \subset A [/mm] auch in [mm] \mathcal F_2 [/mm] ?
Und welche Begründung liegt für das letzte Gleichheitszeichen vor?
Vielen Dank schon mal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Turis |
Hallo,
ich sitze grad selbst in WT 2 und mühe mich mit ähnlichen Problemen ab, daher ist meine Antwort mit Vorsicht zu genießen ;)
Spontan dachte ich auch erst, dass auf Grund der Inklusion das zweite = gilt, aber laut Def müsste es ja für ALLE T aus [mm] F_{2} [/mm] gelten und wenn [mm] F_{2} [/mm] größer ist als [mm] F_{1} [/mm] so könnte es doch T geben, für die das nicht gilt...
Ich finde den Beweis merwürdig. Ich geb dir mal an welchen wir in der Vorlesung gemacht haben:
Beh: [mm] F_{1} \subset F_{2} [/mm] dann gilt
[mm] E(E(X|F_{1})|F_{2}) [/mm] = [mm] E(X|F_{1}) [/mm] = [mm] E(E(X|F_{2})|F_{1})
[/mm]
"Die kleinere Sigma-Algebra setzt sich durch."
Wir hatten zuvor in der gleichen Proposition bewiesen das E(X|F)=X falls X F-messbar ist. Das brauchen wir nun:
1. Da nun [mm] F_{1} \subset F_{2} [/mm] ist und laut Def. bekannt ist dass der bedingte Erwartungswert [mm] E(X|F_{1}) [/mm] ja [mm] F_{1}-messbar [/mm] sein muss, muss [mm] E(X|F_{1}) [/mm] auch [mm] F_{2}-messbar [/mm] sein (wenns im kleinen messbar ist, dann überträgt sich das auch aufs große).
Also ist gezeigt dass [mm] E(E(X|F_{1})|F_{2}) [/mm] = [mm] E(X|F_{1}) [/mm]
2. Sei nun F [mm] \in F_{1}
[/mm]
[mm] \integral_{F}^{}{E(E(X|F_{2})|F_{1})}dP [/mm]
laut Def der bed. Erwartung ist das
= [mm] \integral_{F}^{}{E(X|F_{2})}dP
[/mm]
da F [mm] \in F_{1} [/mm] isses auch in [mm] F_{2} [/mm] und wir können wieder die Messbarkeits-Prop (s.o.) verwenden:
= [mm] \integral_{F}^{}{X}dP
[/mm]
und wieder laut Def der bed. Erwartung (F ist ja aus [mm] F_{1})
[/mm]
= [mm] \integral_{F}^{}{E(X|F_{1})}dP
[/mm]
Und damit haben wir auch die zweite Gleichheit aus der Behauptung.
Ich hoffe es hilft :)
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank!
Dein Beweis ist wirklich übersichtlicher!
Vielen Dank nochmal!
Viele Grüße
irmchen
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