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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - bedingte Erwartungswerte
bedingte Erwartungswerte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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bedingte Erwartungswerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Do 23.09.2010
Autor: chris3

Hallo Leute!
Ich brauch mal wieder eure Hilfe:
Wenn ich eine Zufallsvariable X habe, die messbar bezügl der von der Zufallsvariablen A erzeugten Sigmal-Algebra ist. Wenn ich nun eine weitere Zufallsvariable B habe und mir die von A und B erzeugte SigmaAlgebra betrachte, ist dann X bzgl dieser Sigma-Algebra auch messbar??? Gilt also:
E[X|A,B] = E[X], wenn X nur bzgl A messbar ist?
Ich freue mich auf eure Antworten!!!
Danke

        
Bezug
bedingte Erwartungswerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 Do 23.09.2010
Autor: chris3

ups: es sollte heißen:
E[X|A,B] = X??
Mit den Voraussetzungen an X weiß ich, dass gilt
E[X|A] = X

Bezug
        
Bezug
bedingte Erwartungswerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Do 23.09.2010
Autor: Marc

Hallo chris3,

>  Wenn ich eine Zufallsvariable X habe, die messbar bezügl
> der von der Zufallsvariablen A erzeugten Sigmal-Algebra
> ist. Wenn ich nun eine weitere Zufallsvariable B habe und
> mir die von A und B erzeugte SigmaAlgebra betrachte, ist
> dann X bzgl dieser Sigma-Algebra auch messbar??? Gilt also:
> E[X|A,B] = E[X], wenn X nur bzgl A messbar ist?

Die von A und B erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist ja größer als die nur von A erzeugte: [mm]\sigma(A)\subset \sigma(A,B)[/mm]

Es sei [mm]X: (\Omega,\mathcal{A})\to(\Omega',\mathcal{A}')[/mm] (also [mm]\mathcal{A}'[/mm] die [mm]\sigma[/mm]-Algebra des Bildraums)

Damit gilt:

[mm]X^{-1}(A')\in \sigma(A)[/mm] für alle [mm]A'\in\mathcal{A}'[/mm], (Definition der [mm](\sigma(A),\mathcal{A}')[/mm]-Mewssbarkeit von [mm]X[/mm])

[mm]\Rightarrow\ X^{-1}(A')\in \sigma(A,B)[/mm] für alle [mm]A'\in\mathcal{A}'[/mm], da [mm]\sigma(A)\subset \sigma(A,B)[/mm]

Also ist [mm]X[/mm] auch [mm]\sigma(A,B)[/mm]-messbar.

Es müsste daher in der Tat (siehe deine Korrekturmitteilung) gelten
[mm]E[X|A,B]=E[X|A]=X[/mm]

-Marc


Bezug
                
Bezug
bedingte Erwartungswerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 So 26.09.2010
Autor: chris3

super! Danke für deine Antwort!!
Chris

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