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Forum "Uni-Stochastik" - bedingter Erwartungswert
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bedingter Erwartungswert: unklare Fragestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Sa 04.05.2013
Autor: mikexx

Aufgabe
Zeigen Sie:

[mm] $E(Y|\sigma(\mathcal{F},X))=E(Y|X)$, [/mm]

wobei die [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}$ [/mm] stochastich unabhängig sei von den Zufallsvariablen $X$ und $Y$.


Mir ist klar, dass ich für [mm] $S\in\sigma(\mathcal{F},X)$ [/mm]

[mm] $\int_S Y\, dP=\int_S E(Y|X)\, [/mm] dP$ fast überall

zeigen muss, aber nicht, was genau denn [mm] $\sigma(\mathcal{F},X)$ [/mm] bedeutet.

Weiß das jemand?

Ich dachte zuerst an

[mm] $\sigma(\mathcal{F},X):=\sigma(\mathcal{F}\cup\sigma(X))$, [/mm]

aber dann ist mir nicht klar, wie ich die Unabhängigkeit ausnutzen kann.

Oder sind die Mengen S von der Form

[mm] $S=F\cap X^{-1}(A), F\in\mathcal{F}, A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$? [/mm]



        
Bezug
bedingter Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Sa 04.05.2013
Autor: tobit09

Hallo mikexx,


> Mir ist klar, dass ich für [mm]S\in\sigma(\mathcal{F},X)[/mm]
>  
> [mm]\int_S Y\, dP=\int_S E(Y|X)\, dP[/mm] fast überall
>  
> zeigen muss, aber nicht, was genau denn
> [mm]\sigma(\mathcal{F},X)[/mm] bedeutet.
>  
> Weiß das jemand?
>  
> Ich dachte zuerst an
>
> [mm]\sigma(\mathcal{F},X):=\sigma(\mathcal{F}\cup\sigma(X))[/mm],

Genau das ist gemeint.


> aber dann ist mir nicht klar, wie ich die Unabhängigkeit
> ausnutzen kann.
>  
> Oder sind die Mengen S von der Form
>
> [mm]S=F\cap X^{-1}(A), F\in\mathcal{F}, A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm]?

Zwar sind i.A. nicht alle Mengen [mm] $S\in \sigma(\mathcal{F},X)$ [/mm] von dieser Form. Aber die Mengen dieser Form bilden einen durchschnittsstabilen Erzeuger von [mm] $\sigma(\mathcal{F},X)$. [/mm] Arbeite mit einem []Dynkin-System-Argument.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
bedingter Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Sa 04.05.2013
Autor: mikexx

Hallo, Du meinst, ich soll ein Dynkin-Argument benutzen um zu zeigen, dass die Mengen der Form [mm] $F\cap X^{-1}(A), F\in\mathcal{F}, A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ [/mm] ein durschnittsstabiles Erzeugendensystem für [mm] $\sigma(\mathcal{F},X)$ [/mm] bilden?

Oder, um die geforderte Identität der Integrale zu zeigen?

Bezug
                        
Bezug
bedingter Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Sa 04.05.2013
Autor: tobit09


> Hallo, Du meinst, ich soll ein Dynkin-Argument benutzen um
> zu zeigen, dass die Mengen der Form [mm]F\cap X^{-1}(A), F\in\mathcal{F}, A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm]
> ein durschnittsstabiles Erzeugendensystem für
> [mm]\sigma(\mathcal{F},X)[/mm] bilden?
>  
> Oder, um die geforderte Identität der Integrale zu zeigen?

Letzteres.

Bezug
                                
Bezug
bedingter Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Sa 04.05.2013
Autor: mikexx

Ehrlich gesagt: Wir hatten nie das Thema Dynkin-Systeme.
Aber mal schauen, ob ich das korrekt verstanden habe:

Das Dynkin-Argument hier ist:

1. Zeige die (fast sichere) Identität der Integrale für Integration über Mengen [mm] $M\in\left\{F\cap X^{-1}(A): F\in\mathcal{F},A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$. [/mm]

2. Zeige, dass diejenigen Mengen aus [mm] $\sigma(\mathcal{F},X)$, [/mm] die die Identität erfüllen, ein Dynkin-System bilden.

Dann ist die Aussage gezeigt.

---

So korrekt?
Sind das die beiden Job-Beschreibungen?

Bezug
                                        
Bezug
bedingter Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Sa 04.05.2013
Autor: tobit09


> Ehrlich gesagt: Wir hatten nie das Thema Dynkin-Systeme.

Hm, das ist natürlich blöd. Ich weiß nicht, wie man die Aussage ohne Dynkin-System-Argument zeigen kann.


>  Aber mal schauen, ob ich das korrekt verstanden habe:
>  
> Das Dynkin-Argument hier ist:
>  
> 1. Zeige die (fast sichere) Identität der Integrale für
> Integration über Mengen [mm]M\in\left\{F\cap X^{-1}(A): F\in\mathcal{F},A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}[/mm].

Streiche das "fast sicher".

> 2. Zeige, dass diejenigen Mengen aus [mm]\sigma(\mathcal{F},X)[/mm],
> die die Identität erfüllen, ein Dynkin-System bilden.
>  
> Dann ist die Aussage gezeigt.
>  
> ---
>  
> So korrekt?
>  Sind das die beiden Job-Beschreibungen?

[ok] Genau!

(Natürlich ist noch zu überlegen, dass tatsächlich [mm] $\left\{F\cap X^{-1}(A): F\in\mathcal{F},A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$ [/mm] ein durchschnittsstabiler Erzeuger von [mm] $\sigma(\mathcal{F},X)$ [/mm] ist.)


(Übrigens: Ich nehme mal an, $Y$ ist als nichtnegativ oder integrierbar vorausgesetzt?)

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Bezug
bedingter Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Sa 04.05.2013
Autor: mikexx

Okay.

Leider weiß ich bei Punkt 1 noch nicht so richtig weiter:

[mm] $\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}Y\, dP=\int\limits_{\Omega}\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E(\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y)$ [/mm]

Jetzt muss ich ja sicherlich irgendwie ins Spiel bringen, dass [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] unabhängig von X und Y ist.

Muss man vielleicht einmal verwenden, dass [mm] $\chi_F$ [/mm] und [mm] $\chi_{X^{-1}(A)}Y$ [/mm] unabhängig sind und dann, dass [mm] $\chi_F$ [/mm] und [mm] $\chi_{X^{-1}(A)}E(Y|X)$ [/mm] unabhängig sind?

Bezug
                                                        
Bezug
bedingter Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:34 So 05.05.2013
Autor: tobit09


> Leider weiß ich bei Punkt 1 noch nicht so richtig weiter:
>  
> [mm]\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}Y\, dP=\int\limits_{\Omega}\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E(\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y)[/mm]
>  
> Jetzt muss ich ja sicherlich irgendwie ins Spiel bringen,
> dass [mm]\mathcal{F}[/mm] unabhängig von X und Y ist.
>  
> Muss man vielleicht einmal verwenden, dass [mm]\chi_F[/mm] und
> [mm]\chi_{X^{-1}(A)}Y[/mm] unabhängig sind und dann, dass [mm]\chi_F[/mm]
> und [mm]\chi_{X^{-1}(A)}E(Y|X)[/mm] unabhängig sind?

Genau.

Warum gelten die beiden stochastischen Unabhängigkeiten?

Bezug
                                                                
Bezug
bedingter Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 So 05.05.2013
Autor: mikexx


> > Leider weiß ich bei Punkt 1 noch nicht so richtig weiter:
>  >  
> > [mm]\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}Y\, dP=\int\limits_{\Omega}\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E(\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y)[/mm]
>  
> >  

> > Jetzt muss ich ja sicherlich irgendwie ins Spiel bringen,
> > dass [mm]\mathcal{F}[/mm] unabhängig von X und Y ist.
>  >  
> > Muss man vielleicht einmal verwenden, dass [mm]\chi_F[/mm] und
> > [mm]\chi_{X^{-1}(A)}Y[/mm] unabhängig sind und dann, dass [mm]\chi_F[/mm]
> > und [mm]\chi_{X^{-1}(A)}E(Y|X)[/mm] unabhängig sind?
> Genau.

Okay, dann versuche ich mal, es hinzuschreiben!

[mm]\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}Y\, dP=\int\limits_{\Omega}\chi_{F}\chi_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E\left(\chi_{F}\chi_{X^{-1}(A)}Y\right)[/mm]

[mm]=E\left(\chi_{F}\right)\cdot E\left(\chi_{X^{-1}(A)}Y\right)=E\left(\chi_{F}\right)\int\limits_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E\left(\chi_{F}\right)\int\limits_{X^{-1}(A)}E(Y|X)\, dP[/mm]

[mm]=E\left(\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}E(Y|X)\right)=\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}E(Y|X)\, dP[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)




> Warum gelten die beiden stochastischen Unabhängigkeiten?

Die  beiden stochastischen Unabhängigkeit gelten, weil $\mathcal{F}$ und $\sigma(X)$ nach Annahme unabhängig sind (Urbilder von $\chi_F$ sind entweder $F, \complement{F}, \Omega$ oder $\emptyset$; diese Urbilder sind alle in $\mathcal{F}$. Die Urbilder von $\chi_{X^{-1}(A)}Y$ sind $X^{-1}(A)$ oder $\complement{X^{-1}(A)}$ und liegen in $\sigma(X)$; analog für $\chi_F$ und $\chi_{X^{-1}(A)E(Y|X)$. Hierbei ist natürlich wichtig, dass $E(Y|X)$ eine $\sigma(X)$-messbare Zufallsvariable ist).



Ist das so i.O.?

Schöne Grüße

mikexx

Bezug
                                                                        
Bezug
bedingter Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:16 Mo 06.05.2013
Autor: tobit09


> [mm]\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}Y\, dP=\int\limits_{\Omega}\chi_{F}\chi_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E\left(\chi_{F}\chi_{X^{-1}(A)}Y\right)[/mm]
>  
> [mm]=E\left(\chi_{F}\right)\cdot E\left(\chi_{X^{-1}(A)}Y\right)=E\left(\chi_{F}\right)\int\limits_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E\left(\chi_{F}\right)\int\limits_{X^{-1}(A)}E(Y|X)\, dP[/mm]
>  
> [mm]=E\left(\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}E(Y|X)\right)=\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}E(Y|X)\, dP[/mm]

Schön! [ok]


> Die  beiden stochastischen Unabhängigkeit gelten, weil
> [mm]\mathcal{F}[/mm] und [mm]\sigma(X)[/mm] nach Annahme unabhängig sind

Sogar [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{G}:=\sigma(\sigma(X)\cup\sigma(Y))$ [/mm] sind nach Voraussetzung stochastisch unabhängig.

> (Urbilder von [mm]\chi_F[/mm] sind entweder [mm]F, \complement{F}, \Omega[/mm]
> oder [mm]\emptyset[/mm]; diese Urbilder sind alle in [mm]\mathcal{F}[/mm].

[ok]

> Die Urbilder von [mm]\chi_{X^{-1}(A)}Y[/mm] sind [mm]X^{-1}(A)[/mm] oder
> [mm]\complement{X^{-1}(A)}[/mm] und liegen in [mm]\sigma(X)[/mm];

Nein. Die Urbilder messbarer Mengen unter [mm] $\chi_{X^{-1}(A)}Y$ [/mm] hängen auch von $Y$ ab. Aber [mm] $\chi_{X^{-1}(A)}Y$ [/mm] ist sicherlich [mm] $\mathcal{G}$-messbar [/mm] als Produkt zweier [mm] $\mathcal{G}$-messbarer [/mm] Zufallsgrößen.

> analog für
> [mm]\chi_F[/mm] und [mm]\chi_{X^{-1}(A)E(Y|X)[/mm]. Hierbei ist natürlich
> wichtig, dass [mm]E(Y|X)[/mm] eine [mm]\sigma(X)[/mm]-messbare
> Zufallsvariable ist).

[ok]

Bezug
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