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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Sa 04.05.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] $E(Y|\sigma(\mathcal{F},X))=E(Y|X)$,
[/mm]
wobei die [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}$ [/mm] stochastich unabhängig sei von den Zufallsvariablen $X$ und $Y$. |
Mir ist klar, dass ich für [mm] $S\in\sigma(\mathcal{F},X)$
[/mm]
[mm] $\int_S Y\, dP=\int_S E(Y|X)\, [/mm] dP$ fast überall
zeigen muss, aber nicht, was genau denn [mm] $\sigma(\mathcal{F},X)$ [/mm] bedeutet.
Weiß das jemand?
Ich dachte zuerst an
[mm] $\sigma(\mathcal{F},X):=\sigma(\mathcal{F}\cup\sigma(X))$,
[/mm]
aber dann ist mir nicht klar, wie ich die Unabhängigkeit ausnutzen kann.
Oder sind die Mengen S von der Form
[mm] $S=F\cap X^{-1}(A), F\in\mathcal{F}, A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Sa 04.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mikexx,
> Mir ist klar, dass ich für [mm]S\in\sigma(\mathcal{F},X)[/mm]
>
> [mm]\int_S Y\, dP=\int_S E(Y|X)\, dP[/mm] fast überall
>
> zeigen muss, aber nicht, was genau denn
> [mm]\sigma(\mathcal{F},X)[/mm] bedeutet.
>
> Weiß das jemand?
>
> Ich dachte zuerst an
>
> [mm]\sigma(\mathcal{F},X):=\sigma(\mathcal{F}\cup\sigma(X))[/mm],
Genau das ist gemeint.
> aber dann ist mir nicht klar, wie ich die Unabhängigkeit
> ausnutzen kann.
>
> Oder sind die Mengen S von der Form
>
> [mm]S=F\cap X^{-1}(A), F\in\mathcal{F}, A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm]?
Zwar sind i.A. nicht alle Mengen [mm] $S\in \sigma(\mathcal{F},X)$ [/mm] von dieser Form. Aber die Mengen dieser Form bilden einen durchschnittsstabilen Erzeuger von [mm] $\sigma(\mathcal{F},X)$. [/mm] Arbeite mit einem ![[]](/images/popup.gif) Dynkin-System-Argument.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 04.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Hallo, Du meinst, ich soll ein Dynkin-Argument benutzen um zu zeigen, dass die Mengen der Form [mm] $F\cap X^{-1}(A), F\in\mathcal{F}, A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ [/mm] ein durschnittsstabiles Erzeugendensystem für [mm] $\sigma(\mathcal{F},X)$ [/mm] bilden?
Oder, um die geforderte Identität der Integrale zu zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 04.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Hallo, Du meinst, ich soll ein Dynkin-Argument benutzen um
> zu zeigen, dass die Mengen der Form [mm]F\cap X^{-1}(A), F\in\mathcal{F}, A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})[/mm]
> ein durschnittsstabiles Erzeugendensystem für
> [mm]\sigma(\mathcal{F},X)[/mm] bilden?
>
> Oder, um die geforderte Identität der Integrale zu zeigen?
Letzteres.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Sa 04.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Ehrlich gesagt: Wir hatten nie das Thema Dynkin-Systeme.
Aber mal schauen, ob ich das korrekt verstanden habe:
Das Dynkin-Argument hier ist:
1. Zeige die (fast sichere) Identität der Integrale für Integration über Mengen [mm] $M\in\left\{F\cap X^{-1}(A): F\in\mathcal{F},A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$.
[/mm]
2. Zeige, dass diejenigen Mengen aus [mm] $\sigma(\mathcal{F},X)$, [/mm] die die Identität erfüllen, ein Dynkin-System bilden.
Dann ist die Aussage gezeigt.
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So korrekt?
Sind das die beiden Job-Beschreibungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Sa 04.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ehrlich gesagt: Wir hatten nie das Thema Dynkin-Systeme.
Hm, das ist natürlich blöd. Ich weiß nicht, wie man die Aussage ohne Dynkin-System-Argument zeigen kann.
> Aber mal schauen, ob ich das korrekt verstanden habe:
>
> Das Dynkin-Argument hier ist:
>
> 1. Zeige die (fast sichere) Identität der Integrale für
> Integration über Mengen [mm]M\in\left\{F\cap X^{-1}(A): F\in\mathcal{F},A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}[/mm].
Streiche das "fast sicher".
> 2. Zeige, dass diejenigen Mengen aus [mm]\sigma(\mathcal{F},X)[/mm],
> die die Identität erfüllen, ein Dynkin-System bilden.
>
> Dann ist die Aussage gezeigt.
>
> ---
>
> So korrekt?
> Sind das die beiden Job-Beschreibungen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
(Natürlich ist noch zu überlegen, dass tatsächlich [mm] $\left\{F\cap X^{-1}(A): F\in\mathcal{F},A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$ [/mm] ein durchschnittsstabiler Erzeuger von [mm] $\sigma(\mathcal{F},X)$ [/mm] ist.)
(Übrigens: Ich nehme mal an, $Y$ ist als nichtnegativ oder integrierbar vorausgesetzt?)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Sa 04.05.2013 | | Autor: | mikexx |
Okay.
Leider weiß ich bei Punkt 1 noch nicht so richtig weiter:
[mm] $\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}Y\, dP=\int\limits_{\Omega}\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E(\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y)$
[/mm]
Jetzt muss ich ja sicherlich irgendwie ins Spiel bringen, dass [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] unabhängig von X und Y ist.
Muss man vielleicht einmal verwenden, dass [mm] $\chi_F$ [/mm] und [mm] $\chi_{X^{-1}(A)}Y$ [/mm] unabhängig sind und dann, dass [mm] $\chi_F$ [/mm] und [mm] $\chi_{X^{-1}(A)}E(Y|X)$ [/mm] unabhängig sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 So 05.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Leider weiß ich bei Punkt 1 noch nicht so richtig weiter:
>
> [mm]\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}Y\, dP=\int\limits_{\Omega}\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E(\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y)[/mm]
>
> Jetzt muss ich ja sicherlich irgendwie ins Spiel bringen,
> dass [mm]\mathcal{F}[/mm] unabhängig von X und Y ist.
>
> Muss man vielleicht einmal verwenden, dass [mm]\chi_F[/mm] und
> [mm]\chi_{X^{-1}(A)}Y[/mm] unabhängig sind und dann, dass [mm]\chi_F[/mm]
> und [mm]\chi_{X^{-1}(A)}E(Y|X)[/mm] unabhängig sind?
Genau.
Warum gelten die beiden stochastischen Unabhängigkeiten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 05.05.2013 | | Autor: | mikexx |
> > Leider weiß ich bei Punkt 1 noch nicht so richtig weiter:
> >
> > [mm]\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}Y\, dP=\int\limits_{\Omega}\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E(\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}Y)[/mm]
>
> >
> > Jetzt muss ich ja sicherlich irgendwie ins Spiel bringen,
> > dass [mm]\mathcal{F}[/mm] unabhängig von X und Y ist.
> >
> > Muss man vielleicht einmal verwenden, dass [mm]\chi_F[/mm] und
> > [mm]\chi_{X^{-1}(A)}Y[/mm] unabhängig sind und dann, dass [mm]\chi_F[/mm]
> > und [mm]\chi_{X^{-1}(A)}E(Y|X)[/mm] unabhängig sind?
> Genau.
Okay, dann versuche ich mal, es hinzuschreiben!
[mm]\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}Y\, dP=\int\limits_{\Omega}\chi_{F}\chi_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E\left(\chi_{F}\chi_{X^{-1}(A)}Y\right)[/mm]
[mm]=E\left(\chi_{F}\right)\cdot E\left(\chi_{X^{-1}(A)}Y\right)=E\left(\chi_{F}\right)\int\limits_{X^{-1}(A)}Y\, dP=E\left(\chi_{F}\right)\int\limits_{X^{-1}(A)}E(Y|X)\, dP[/mm]
[mm]=E\left(\chi_F\chi_{X^{-1}(A)}E(Y|X)\right)=\int\limits_{F\cap X^{-1}(A)}E(Y|X)\, dP[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Warum gelten die beiden stochastischen Unabhängigkeiten?
Die beiden stochastischen Unabhängigkeit gelten, weil $\mathcal{F}$ und $\sigma(X)$ nach Annahme unabhängig sind (Urbilder von $\chi_F$ sind entweder $F, \complement{F}, \Omega$ oder $\emptyset$; diese Urbilder sind alle in $\mathcal{F}$. Die Urbilder von $\chi_{X^{-1}(A)}Y$ sind $X^{-1}(A)$ oder $\complement{X^{-1}(A)}$ und liegen in $\sigma(X)$; analog für $\chi_F$ und $\chi_{X^{-1}(A)E(Y|X)$. Hierbei ist natürlich wichtig, dass $E(Y|X)$ eine $\sigma(X)$-messbare Zufallsvariable ist).
Ist das so i.O.?
Schöne Grüße
mikexx
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