bemerkenswerter Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:23 So 24.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Sei [mm] H_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}. [/mm] Sie sollen zeigen, dass der bemerkenswerte Grenzwert
[mm] \gamma [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(H_{n}-ln(n))
[/mm]
existiert. Dies zeigt, dass die harmonische Reihe im wesentlichen wie ln(n) divergiert.
1. Beweisen Sie zunächst, dass [mm] e^{x} [/mm] > 1+x für alle [mm] x\in\IR [/mm] \ {0}.
2. Folgern Sie [mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] < [mm] ln(\bruch{x+1}{x}) [/mm] < [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für alle x>0.
3. Folgern Sie unter Verwendung der Beziehung ln(n) = [mm] \summe_{k=1}^{n-1}ln(\bruch{k+1}{k}), [/mm] dass [mm] \gamma [/mm] existiert. |
Zu 1)
[mm] e^{x} [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] = [mm] 1+x+\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] > 1+x
Zu 2)
Hier sollte ich wohl am besten mit dem MWS arbeiten, aber bin bei dieser Thematik leider etwas überfordert. Bräuchte einen Ansatz zur Vorgehensweise.
Ebenso bei 3.
LG Tommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 So 24.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Doemmi!
Der Ansatz ist gut. Jedoch fehlt noch eine Begründung für die letzte Abschätzung (denke dabei auch an negative x-Werte).
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:39 So 24.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
Ich würde mal behaupten, dass [mm] e^{x} [/mm] > 0 , was man am Funktionsgraphen sieht. Deshalb gilt die Behauptung auch für negatives x.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 26.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 So 24.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Doemmi!
Bedenke, dass gilt (gemäß  Logarithmusgesetzen):
[mm] $$\ln\left(\bruch{x+1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x+1)-\ln(x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:42 So 24.01.2010 | | Autor: | Doemmi |
Danke für deine Antwort!
Das ist mir nicht neu, aber ich weiß nicht, inwiefern mir das weiter hilft. ln(1+x) ist ja die Potenzreihe, aber auch das sagt mir nichts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 26.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 26.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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