beschränkte Folge? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Mo 27.10.2008 | | Autor: | ri3k |
| Aufgabe | Zeigen Sie dass die Folge [mm] (a_{n}), [/mm] definiert durch [mm] a_{1}=2, a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}} [/mm] beschränkt ist.
(hinweis: man zeige [mm] a_{n}\le2 [/mm] duch vollst. induktion) |
Wie muss bei so einer folge vorgehen um zu zeigen, das sie beschränkt ist? muss ich jetzt zeigen das sie konvergiert? da jede beschränkte folge konvergiert?
mir fällt kein richtiger ansatz ein wie ich da ran gehen muss.
[mm] a_{n}\leM [/mm] ? ist bei [mm] a_{n}=\wurzel{2}
[/mm]
könnte ihr eine mathebuch empfehlen was sehr hilfreich für mathe 1 und mathe2 ist?
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Hallo ri3k!
Der Weg, um die Beschränktheit der Folge zu zeigen, ist Dir doch konkret vorgegeben mit vollständiger Induktion.
> muss ich jetzt zeigen das sie konvergiert?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist der falsche Weg. Denn hier wird aller voraussicht nach aus der Monotonie und der Beschränktheit erst die Konvergenz gefolgert.
> da jede beschränkte folge konvergiert?
Das stimmt nicht. Gegenbeispiel: [mm] $a_n [/mm] \ := \ [mm] (-1)^n$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mo 27.10.2008 | | Autor: | ri3k |
hmm
[mm] a_{n}\le2
[/mm]
[mm] a_{n+1}\le2+1 [/mm] ??
da [mm] a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}} [/mm] ist
[mm] \wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}\le3 [/mm] ???
oder wie geht man da vor??
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> hmm
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> [mm]a_{n}\le2[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}\le2+1[/mm] ??
>
> da [mm]a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}[/mm] ist
>
> [mm]\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}\le3[/mm] ???
>
> oder wie geht man da vor??
Hallo,
so geht das nicht.
Du schreibst hier einfach irgendwas hin, und kein Mensch weiß, was das sein soll.
In der Mathematik sind zwar lyrische Ergüsse fehl am Platze, was jedoch nicht heißt, daß man keine Wörter und verbindende, erklärende Texte spendieren darf.
Im Gegenteil: man soll das.
Zu einer  Induktion gehören
1. die Behauptung, welche durch Induktion zu beweisen ist,
2. der Induktionsanfang,
3. die Induktionsvoraussetzung,
4. der Induktionsschluß.
All dies aufzuschreiben, ist keine überflüssige Schreiberei, denn es schafft Klarheit für den Leser (und Korrektor), aber - wichtiger - auch im eigenen Kopf.
Dazu, wie Du dann schließlich den Induktionsschluß durchführen kannst, hat Dir ja Marcel bereits einen Hinweis gegeben.
Am besten, Du fängst jetzt nach dem gründlichen Studium desInduktion-Artikels mal an und versuchst , das jetzt mal so zu Papier Bildschirm zu bringen, daß man Deinem Tun folgen kann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mo 27.10.2008 | | Autor: | ri3k |
zz: [mm] a_{n}\le2
[/mm]
IA [mm] a_{1}=2 [/mm] dann ist [mm] 2\le2 [/mm] 2=2 wahr
IS [mm] a_{n+1}\le2 [/mm] wo bei [mm] a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}} [/mm] ist
wie geht es da weiter??
kann man nicht sagen
[mm] \wurzel{a_{n}}<2 [/mm] sowie [mm] \wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}\le2 [/mm]
[mm] \Rightarrow a_{n+1}\le2
[/mm]
ich weiß nicht wie ich das sonst anders aufschreiben soll.sry
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> zz: [mm] a_{n}\le2alle n\in \IN
[/mm]
>
> IA [mm] a_{1}=2dann [/mm] ist [mm] 2\le2 [/mm] 2=2 wahr
Induktionsvoraussetzung: es gelte [mm] a_{n}\le2für [/mm] ein [mm] n\in \IN [/mm]
> IS
zu zeigen: unter dieser Voraussetzung gilt auch
[mm] >a_{n+1}\le2[/mm] [/mm] wo [mm] beia_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}
[/mm]
> ist
>
> wie geht es da weiter??
Beweis:
es ist
[mm] a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}
[/mm]
Weil nach Induktionsvoraussetzung
>
> [mm] \wurzel{a_{n}}<2
[/mm]
und die Wurzelfunktion monoton wachsend ist, ist
[mm] a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}< \wurzel{2+...} [/mm] = ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mo 27.10.2008 | | Autor: | ri3k |
>
> und die Wurzelfunktion monoton wachsend ist, ist
>
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}< \wurzel{2+...}[/mm] = ???
[mm] a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}< \wurzel{2+\wurzel{2}}\le2
[/mm]
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Hallo ri3k!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Mo 27.10.2008 | | Autor: | ri3k |
> >
> > und die Wurzelfunktion monoton wachsend ist, ist
> >
> > [mm]a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}< \wurzel{2+...}[/mm] = ???
>
>
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}< \wurzel{2+\wurzel{2}}\le2[/mm]
>
>
[mm] a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}< \wurzel{2+\wurzel{2}} [/mm] <2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > >
> > > und die Wurzelfunktion monoton wachsend ist, ist
> > >
> > > [mm]a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}< \wurzel{2+...}[/mm] = ???
> >
> >
> > [mm]a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}< \wurzel{2+\wurzel{2}}\le2[/mm]
>
> >
> >
>
>
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}< \wurzel{2+\wurzel{2}}[/mm]
> <2
das wäre auch korrekt (weil die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist), aber Du brauchst ja gar nicht [mm] $a_n [/mm] < 2$ für alle $n > 1$ zu zeigen, was Du so zeigen würdest. Es reicht (siehe Aufgabenstellung) wirklich, wenn Du da [mm] $a_{n+1} \le [/mm] 2$ schreibst.
(Selbstverständlich ist das so, wie Du das oben machst, insbesondere auch gezeigt, da $x < 2$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \le 2\,.$)
[/mm]
Übrigens würde ich hier ein wenig ausführlicher argumentieren. Und zwar:
Sei [mm] $a_n \le [/mm] 2$ für ein $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dann ist, weil die Wurzelfunktion (auf [mm] $\IR_{\ge 0}$) [/mm] monoton wachsend ist, auch [mm] $\sqrt{a_n} \le \sqrt{2} \le \sqrt{4}=2\,.$
[/mm]
Folglich gilt zudem (Monotonie der Wurzelfunktion):
[mm] $$a_{n+1}=\sqrt{2+\underbrace{\sqrt{a_n}}_ {\le 2}} \le \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie dass die Folge [mm](a_{n}),[/mm] definiert durch [mm]a_{1}=2, a_{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{a_{n}}}[/mm]
> beschränkt ist.
> (hinweis: man zeige [mm]a_{n}\le2[/mm] duch vollst. induktion)
> Wie muss bei so einer folge vorgehen um zu zeigen, das sie
> beschränkt ist? muss ich jetzt zeigen das sie konvergiert?
> da jede beschränkte folge konvergiert?
da wurde ja schon ein Gegenbeispiel genannt. Bitte beachte, dass für eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gilt:
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow$ $(a_n)_n$ [/mm] beschränkt.
Die Umkehrung dieser Aussage ist (i.a.) falsch!
(Also: [mm] $(a_n)_n$ [/mm] beschränkt [mm] $\underset{\text{i.a.}}{\not\Rightarrow}$ $(a_n)_n$ [/mm] konvergent.)
> mir fällt kein richtiger ansatz ein wie ich da ran gehen
> muss.
Induktionsanfang: [mm] $a_1=2 \le [/mm] 2$ Okay.
$n [mm] \mapsto [/mm] n+1$:
Zeige: Wenn man für $n [mm] \in \IN$ $a_n \le [/mm] 2$ weiß, dann läßt sich zeigen, dass auch [mm] $a_{n+1} \le [/mm] 2$ ist. Dazu musst Du dann natürlich insbesondere [mm] $a_n \le [/mm] 2$ und die Definition von [mm] $a_{n+1}$ [/mm] benützen.
> [mm]a_{n}\leM[/mm] ? ist bei [mm]a_{n}=\wurzel{2}[/mm]
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> könnte ihr eine mathebuch empfehlen was sehr hilfreich für
> mathe 1 und mathe2 ist?
Was ist Mathe 1 und Mathe 2? Ich fand' das Buch von Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis ganz gut. Aber ist auch etwas teuer und entsprechend dick. Andere schwören auf Forster, Königsberger ...
Der beste Tipp: Einfach mal in die Unibibliothek und selber die Nase in ein paar Bücher reinstecken. Du wirst da sicher irgendwann selbst merken, womit Du besser und womit weniger gut zurecht kommst. Und das für Dich beste Buch evtl. dann auch selber zulegen.
Gruß,
Marcel
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