beschränkte Folge mit H.Punkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen,
| Aufgabe | | Eine Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt besitzt. |
Hier hätte ich eine Frage zur Richtigkeit der Rückrichtung meines Beweises der Aussage, da mit meinem Ansatz etwas nicht stimmen kann, weil ich dort nicht verwende, daß die Folge beschränkt ist:
Ein Häufungspunkt ist der Grenzwert einer Teilfolge der Folge [mm]\left(a_n\right)[/mm]. Da es nur einen Häufungspunkt von [mm]\left(a_n\right)[/mm] gibt, müssen also alle Teilfolgen von [mm]\left(a_n\right)[/mm] dagegen konvergieren. Da [mm]\left(a_n\right)[/mm] auch Teilfolge von sich selbst ist, konvergiert also auch [mm]\left(a_n\right)[/mm] gegen diesen Häufungspunkt als Grenzwert.
Oder ist der Beweis so richtig?
Danke für die Hilfe!
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Zusammen,
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> Eine Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie
> beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt besitzt.
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> Hier hätte ich eine Frage zur Richtigkeit der Rückrichtung
> meines Beweises der Aussage, da mit meinem Ansatz etwas
> nicht stimmen kann, weil ich dort nicht verwende, daß die
> Folge beschränkt ist:
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> Ein Häufungspunkt ist der Grenzwert einer Teilfolge der
> Folge [mm]\left(a_n\right)[/mm]. Da es nur einen Häufungspunkt von
> [mm]\left(a_n\right)[/mm] gibt, müssen also alle Teilfolgen von
> [mm]\left(a_n\right)[/mm] dagegen konvergieren. Da [mm]\left(a_n\right)[/mm]
> auch Teilfolge von sich selbst ist, konvergiert also auch
> [mm]\left(a_n\right)[/mm] gegen diesen Häufungspunkt als Grenzwert.
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> Oder ist der Beweis so richtig?
Fast. Du brauchst die Beschränkheit, um aus der Eindeutigkeit des Häufungspunktes zu folgern, dass alle Teilfolgen konvergieren. Zum Beispiel: betrachte die Folge
[mm] a_n = \begin{cases} 1, & \text{$n$ gerade} \\ n, &\text{$n$ ungerade} \end{cases} [/mm].
Diese Folge hat 1 als einzigen Häufungspunkt, ist aber nicht konvergent: es gibt ja eine konvergente und eine divergente Teilfolge. [mm] ($\infty$ [/mm] ist kein Häufungspunkt, denn das ist keine reelle Zahl.)
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
Ich versuche gerade meinen Beweis zu retten.  Kann man den Satz von Bolzano-Weierstraß eventuell etwas verschärfen oder ist das Folgende der Satz von Bolzano-Weierstraß ?:
Version 1:
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.
Version 2:
Jede beschränkte Folge reeller Zahlen läßt sich vollständig in konvergente Teilfolgen zerlegen.
Ich denke auch Version 2 ist richtig. Muß man Version 2 beweisen und wenn ja, wie soll man da argumentieren?
Mit Version 2 kann ich meinen Beweis retten:
Ein Häufungspunkt ist der Grenzwert einer Teilfolge der Folge [mm]\left(a_n\right)[/mm]. Da [mm]\left(a_n\right)[/mm] beschränkt ist, kann man [mm]\left(a_n\right)[/mm] vollständig in konvergente Teilfolgen zerlegen. Da es nur einen Häufungspunkt von [mm]\left(a_n\right)[/mm] gibt, müssen also alle Teilfolgen von [mm]\left(a_n\right)[/mm] dagegen konvergieren. Also konvergiert auch [mm]\left(a_n\right)[/mm] gegen diesen Häufungspunkt als Grenzwert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Sa 17.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Jede beschränkte Folge reeller Zahlen läßt sich vollständig
> in konvergente Teilfolgen zerlegen.
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> Ich denke auch Version 2 ist richtig. Muß man Version 2
> beweisen und wenn ja, wie soll man da argumentieren?
Ich denke man könnte das ähnlich wie den Satz von Bolzano-Weierstraß beweisen (Überaschung ^^). Ich will nur mal die Idee skizzieren:
[mm] $a_n$ [/mm] ist beschränkt, d.h. es gibt [mm] $C\in\IR$ [/mm] mit [mm] $a_n\subset[-C,C]:=I$. [/mm] Jetzt teilst du das Intervall $I$ in der Mitte in $I'$ und $I''$. Es gibt zwei Fälle:
1. In einem der Intervalle $I'$, $I''$ liegen nur endlich viele Folgeglieder, z.B. in $I'$. Dann schmeißt du alle diese endlich vielen Folgeglieder in eine Folge und machst dann mit der Halbierung von $I''$ weiter.
2. In beiden Intervallen liegen [mm] $\infty$-viele [/mm] Folgenglieder. Dann machst du einfach weiter mit der Halbierung von $I'$ und wendest außerdem den selben Algorithmus für eine neue Teilfolge auf $I''$ an.
Das technisch sauber auszuführen scheint mir aber ziemlich anstrengend zu sein, und ich glaube der Aufwand damit deinen Beweis zu "retten" ist viel größer als eine alernative Herangehensweise zu wählen:
Sei [mm] $a_n$ [/mm] beschränkt mit dem einzigen Häufungspunkt $a$. Nach dem Satz von Bolzano Weierstraß gibt es [mm] $a_{n_k}\to [/mm] a$. Wir zeigen nun dass auch [mm]a_n\to a[/mm]. Annahme: das ist falsch, d.h. es gibt ein [mm] $\varepsilon_0>0$ [/mm] und zu jedem [mm] $n\in\IN$ [/mm] ein [mm]m>n[/mm] mit [mm] $|a_m-a|>\varepsilon_0$. [/mm] Betrachte nun [mm] $f(n):=\min_{m>n}|a_m-a|>\varepsilon_0$. [/mm] Dies ist wohldefiniert und monoton wachsend, gibt uns also eine Teilfolge [mm] $b_n:=a_{f(n)}$, [/mm] für die gilt: [mm] $\forall n\in\IN:|b_n-a|>\varepsilon_0$ $(\star)$. [/mm] Offensichtlich ist auch [mm] $b_n$ [/mm] beschränkt und es gibt nach Bolzano-Weierstraß [mm] $b_{n_k}\rightarrow [/mm] a$ - Widerspruch zu [mm] $(\star)$, [/mm] q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo pelzig,
Danke für die Antwort! :)
Grüße
Karl
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