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beschränkter linearer Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mo 21.05.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Es sei m = [mm] (m_k)_k \in [/mm] [mm] l^{\infty} [/mm]   und 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty. [/mm] Zeige, dass durch [mm] M(x)=(m_kx_k)_k, [/mm] x = [mm] (x_k)_k \in l^p [/mm] ein beschränkter linearer Operator M [mm] :l^p \to l^p [/mm] definiert ist. Bestimme zudem [mm] \parallel M\parallel_{L(l^p,l^p )} [/mm]

Hallo ihr Lieben,

[mm] \parallel M(x)\parallel_p [/mm] = [mm] (\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^\bruch{1}{p}\le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p} [/mm] (2)
also ist M wohldef. und beschränkt.
Und wegen
[mm] M(\lambda x+\mu y)=(m_k(\lambda x_k+\mu y_k))_{k \in \IN} [/mm] = [mm] \lambda(m_kx_k)+ \mu(m_ky_k)=\lambda M(x)+\mu [/mm] M(y) und somit linear also M [mm] \in L(l^p,l^p)= L(l^p) [/mm]



Wäre das so in Ordnung?

Mein problem liegt mehr darin [mm] \parallel M\parallel_{L^(l^p)} [/mm] zu bestimmen.

[mm] L(X,Y)=\{A:X \to Y; \text{ A linear und stetig}\} [/mm] = [mm] \{A:X \to Y; \text{A linear und beschränkt}\} [/mm]
[mm] \parallel A\parallel_{L(X,Y)}=inf \{c\ge 0, \parallel Ax \parallel_{Y} \le c \parallel x\parallel_X \forall x \in X\}=\sup_{x \in B_x}\parallel Ax\parallel_{Y} =\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}=\sup_{x \in S_x} \parallel Ax\parallel_{Y} [/mm] (3)
wobei [mm] S_x=\{x \in X: \parallel x\parallel_X=1\} [/mm] und [mm] B_x=\overline{B(0,1)}=\{x \inX : \parallel x\parallel_x \le 1\} [/mm] und Ax=A(x)
und

[mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{Y} \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{L(X,Y)} \parallel [/mm] x [mm] \parallel_X [/mm] (1)


ich weiß also aus (1), dass
[mm] \parallel [/mm] M [mm] \parallel_{L(l^p)} \ge \bruch{\parallel Mx \parallel_{p}}{\parallel x \parallel_p} [/mm]
und aus (2)
[mm] \parallel M(x)\parallel_p \le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p} [/mm]
und ich weiß aus (3)
[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{\parallel x\parallel_p=1} \parallel Mx\parallel_p=\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel Mx\parallel_p \underbrace{\le}_{(2)} \sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p} [/mm]
aber irgendwie komme ich hier auf keinen grünen zweig...
Meine Idee ist, dass [mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}= \parallel m\parallel_{\infty} [/mm] aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.

Kann mir da jemand bei helfen?

Vielen dank und schöne Pfingsten
Noya

        
Bezug
beschränkter linearer Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Mo 21.05.2018
Autor: donquijote


> Es sei m = [mm](m_k)_k \in[/mm] [mm]l^{\infty}[/mm]  und 1 [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty.[/mm]
> Zeige, dass durch [mm]M(x)=(m_kx_k)_k,[/mm] x = [mm](x_k)_k \in l^p[/mm] ein
> beschränkter linearer Operator M [mm]:l^p \to l^p[/mm] definiert
> ist. Bestimme zudem [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p,l^p )}[/mm]
>  
> Hallo ihr Lieben,
>  
> [mm]\parallel M(x)\parallel_p[/mm] =
> [mm](\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^\bruch{1}{p}\le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}[/mm]
> (2)
>  also ist M wohldef. und beschränkt.
>  Und wegen
>  [mm]M(\lambda x+\mu y)=(m_k(\lambda x_k+\mu y_k))_{k \in \IN}[/mm]
> = [mm]\lambda(m_kx_k)+ \mu(m_ky_k)=\lambda M(x)+\mu[/mm] M(y) und
> somit linear also M [mm]\in L(l^p,l^p)= L(l^p)[/mm]
>  
>
>
> Wäre das so in Ordnung?
>
> Mein problem liegt mehr darin [mm]\parallel M\parallel_{L^(l^p)}[/mm]
> zu bestimmen.
>  
> [mm]L(X,Y)=\{A:X \to Y; \text{ A linear und stetig}\}[/mm] = [mm]\{A:X \to Y; \text{A linear und beschränkt}\}[/mm]
> [mm]\parallel A\parallel_{L(X,Y)}=inf \{c\ge 0, \parallel Ax \parallel_{Y} \le c \parallel x\parallel_X \forall x \in X\}=\sup_{x \in B_x}\parallel Ax\parallel_{Y} =\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}=\sup_{x \in S_x} \parallel Ax\parallel_{Y}[/mm]
> (3)
>  wobei [mm]S_x=\{x \in X: \parallel x\parallel_X=1\}[/mm] und
> [mm]B_x=\overline{B(0,1)}=\{x \inX : \parallel x\parallel_x \le 1\}[/mm]
> und Ax=A(x)
>  und
>  
> [mm]\parallel[/mm] Ax [mm]\parallel_{Y} \le \parallel[/mm] A
> [mm]\parallel_{L(X,Y)} \parallel[/mm] x [mm]\parallel_X[/mm] (1)
>  
>
> ich weiß also aus (1), dass
> [mm]\parallel[/mm] M [mm]\parallel_{L(l^p)} \ge \bruch{\parallel Mx \parallel_{p}}{\parallel x \parallel_p}[/mm]
>  
> und aus (2)
>  [mm]\parallel M(x)\parallel_p \le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}[/mm]
>  
> und ich weiß aus (3)
>  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{\parallel x\parallel_p=1} \parallel Mx\parallel_p=\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel Mx\parallel_p \underbrace{\le}_{(2)} \sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}[/mm]
>  
> aber irgendwie komme ich hier auf keinen grünen zweig...
>  Meine Idee ist, dass [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}= \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.

Hallo,
[mm]\le[/mm] sollte klar sein (das folgt schon aus (2)).
Um zu zeigen, dass Gleichheit gilt, musst du nur noch ein [mm]x\ne 0[/mm] finden mit [mm]\|M(x)\|_p=\|m\|_{\infty}*\|x\|_p[/mm].

PS. Der erste Teil deiner Lösung scheint mir in Ordnung.

>  
> Kann mir da jemand bei helfen?
>  
> Vielen dank und schöne Pfingsten
>  Noya


Bezug
                
Bezug
beschränkter linearer Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Mo 21.05.2018
Autor: Noya

also ich weiß, dass

[mm] \parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty} [/mm] =  [mm] \parallel m\parallel_{\infty} [/mm]

und jetzt muss ich noch ein [mm] x\not= [/mm] 0 finden, sodass
[mm] \parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}. [/mm]
Und dann würde folgen  [mm] \parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)} [/mm]
so die Idee. :D

Wähle ich mir jetzt ein [mm] x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases} [/mm] mit [mm] j\in \IN [/mm]
dann wäre [mm] \parallel \delta_{kj}\parallel_p=1 [/mm]

und somit
[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j| [/mm]
also ist doch auch
[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty} [/mm]
und somit

[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}. [/mm]

Wäre das so in Ordnung?

Vielen Dank und einen schönen Abend noch

Noya



Bezug
                        
Bezug
beschränkter linearer Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:33 Mo 21.05.2018
Autor: donquijote


> also ich weiß, dass
>  
> [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> =  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
>   [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]
>  
> Und dann würde folgen  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>  
> so die Idee. :D
>  
> Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> mit [mm]j\in \IN[/mm]
>  dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]
>  
> und somit
>  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>  
> also ist doch auch
>  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> und somit
>  
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>  
> Wäre das so in Ordnung?

fast.
Das war auch meine Idee, die funktioniert, wenn es ein k gibt mit [mm]|m_k|=\|m\|_{\infty}[/mm].
Allerdings ist nicht garantiert, dass in der Supremumsnorm das Maximum [mm]\|m\|_{\infty}=\sup_k|m_k|[/mm] tatsächlich angenommen wird (was mir erst später aufgefallen ist). Wenn nicht, gibt es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein k mit [mm]|m_k|>\|m\|_{\infty}-\epsilon[/mm], mit dem analog gefolgert werden kann dass [mm]\|M\|\ge 1-\epsilon[/mm].

>  
> Vielen Dank und einen schönen Abend noch
>  
> Noya
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
beschränkter linearer Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Di 22.05.2018
Autor: Noya


> fast.
>  Das war auch meine Idee, die funktioniert, wenn es ein k
> gibt mit [mm]|m_k|=\|m\|_{\infty}[/mm].
>  Allerdings ist nicht garantiert, dass in der Supremumsnorm
> das Maximum [mm]\|m\|_{\infty}=\sup_k|m_k|[/mm] tatsächlich
> angenommen wird (was mir erst später aufgefallen ist).
> Wenn nicht, gibt es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein k mit
> [mm]|m_k|>\|m\|_{\infty}-\epsilon[/mm], mit dem analog gefolgert
> werden kann dass [mm]\|M\|\ge 1-\epsilon[/mm].

Ich verstehe den einwand nicht. Kannst du mir das eventuell genauer erläutern?

Vielen dank und liebe Grüße
Noya

> > Vielen Dank und einen schönen Abend noch
>  >  
> > Noya
>  >  
> >  

>  


Bezug
                                        
Bezug
beschränkter linearer Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:03 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> > fast.
>  >  Das war auch meine Idee, die funktioniert, wenn es ein
> k
> > gibt mit [mm]|m_k|=\|m\|_{\infty}[/mm].
>  >  Allerdings ist nicht garantiert, dass in der
> Supremumsnorm
> > das Maximum [mm]\|m\|_{\infty}=\sup_k|m_k|[/mm] tatsächlich
> > angenommen wird (was mir erst später aufgefallen ist).
> > Wenn nicht, gibt es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein k mit
> > [mm]|m_k|>\|m\|_{\infty}-\epsilon[/mm], mit dem analog gefolgert
> > werden kann dass [mm]\|M\|\ge 1-\epsilon[/mm].
>  
> Ich verstehe den einwand nicht. Kannst du mir das eventuell
> genauer erläutern?

Ich bins der Fred, nicht donquijote. Ich hab Dir oben schon geschrieben, dass donquijote ogffenbar gemeint hat, dass Du gemeint hast [mm] \max \{|m_k|:k \in \IN\} [/mm] existiert.

Das hast Du aber nicht.

>  
> Vielen dank und liebe Grüße
>  Noya
>  > > Vielen Dank und einen schönen Abend noch

>  >  >  
> > > Noya
>  >  >  
> > >  

> >  

>  


Bezug
                        
Bezug
beschränkter linearer Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:31 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> also ich weiß, dass
>  
> [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> =  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]

Was ist denn A ? Ich nehme an, Du meinst M.



>  
> und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
>   [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]

???? Wo kommt denn in der letzten Ungleichung x vor ???


>  
> Und dann würde folgen  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>  
> so die Idee. :D
>  
> Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> mit [mm]j\in \IN[/mm]
>  dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]


Mit Verlaub, das sind ja grausige Bezeichnungsweisen: [mm] x=x_k=\delta_{kj} [/mm] ????.

Ich vermute Du meinst folgendes: wir wählen x [mm] \in l^p [/mm] so, dass die k-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen Koordinaten sind =0.


>  
> und somit
>  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]

Hmmmm, hast Du hier k und j vertauscht ?

Ja, dann bekommen wir [mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)} \ge |m_k| [/mm]

>  
> also ist doch auch
>  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> und somit
>  
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>  
> Wäre das so in Ordnung?

Ja, bis auf die chaotische Bezeichnungsweise.

Den Einwand meines Vorredners verstehe ich nicht. Nirgendwo bist Du von

[mm] |m_k| [/mm] = [mm] ||m||_{\infty} [/mm]  für ein k

ausgegangen.

>  
> Vielen Dank und einen schönen Abend noch
>  
> Noya
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
beschränkter linearer Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:01 Di 22.05.2018
Autor: Noya

Hallöchen :)
> > also ich weiß, dass
>  >  
> > [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> > =  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> Was ist denn A ? Ich nehme an, Du meinst M.

ja genau. Bin von der Definiton aus dem Skript ausgegangen und dann durcheinander gekommen mit der Bezeichnung...

>  
>
>
> >  

> > und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
>  >   [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]
>  
> ???? Wo kommt denn in der letzten Ungleichung x vor ???

gar nicht. ging von der Def. von [mm] \parallel A\parallel_{L(l^p)} [/mm] aus, welche ja abhängig von x ist.

>  
>
> >  

> > Und dann würde folgen  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>  
> >  

> > so die Idee. :D
>  >  
> > Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> > mit [mm]j\in \IN[/mm]
>  >  dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]
>  
>
> Mit Verlaub, das sind ja grausige Bezeichnungsweisen:
> [mm]x=x_k=\delta_{kj}[/mm] ????.

>  
> Ich vermute Du meinst folgendes: wir wählen x [mm]\in l^p[/mm] so,
> dass die k-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen
> Koordinaten sind =0.

genau. wie könnte ich das denn schöner betiteln?
laut Aufgabernstellung gilt ja : [mm] x=(x_k) \in l^p. [/mm] wäre dann evt [mm] x_{k}^{j} [/mm] für den speziell gewählten Vektor besser?

>  
>
> >  

> > und somit
>  >  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>  
> Hmmmm, hast Du hier k und j vertauscht ?

denke nicht.. denn zb die Eintrage k=1,k=2 bis j-1 sollen 0 sein
der Eintrag j=1 und dann die Eintrage von j+1 bis [mm] \infty [/mm] wieder 0.
und dann hätte ich ja
[mm] (\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=(|m_1x_1|^p+|m_2x_2|^p+...+|m_{j-1}x_{j-1}|^p+|m_jx_j|^p+|m_{j+1}x_{j+1}|^p+..+||m_{\infty}x_{\infty}|^p){\bruch{1}{p}}=(0+0+...+0+|m_j*1|^p+0+...0)^{\bruch{1}{p}}=(|m_j|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j| [/mm]

>  
> Ja, dann bekommen wir [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)} \ge |m_k|[/mm]
>  
> >  

> > also ist doch auch
>  >  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> >  

> > und somit
>  >  
> > [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>  

Vielen Dank!

Bezug
                                        
Bezug
beschränkter linearer Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> Hallöchen :)
>  > > also ich weiß, dass

>  >  >  
> > > [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> > > =  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  >  
> > Was ist denn A ? Ich nehme an, Du meinst M.
>  ja genau. Bin von der Definiton aus dem Skript ausgegangen
> und dann durcheinander gekommen mit der Bezeichnung...
>  >  
> >
> >
> > >  

> > > und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
>  >  >   [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]
>  
> >  

> > ???? Wo kommt denn in der letzten Ungleichung x vor ???
>  gar nicht. ging von der Def. von [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
> aus, welche ja abhängig von x ist.
>  >  
> >
> > >  

> > > Und dann würde folgen  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > so die Idee. :D
>  >  >  
> > > Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> > > mit [mm]j\in \IN[/mm]
>  >  >  dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]
>  
> >  

> >
> > Mit Verlaub, das sind ja grausige Bezeichnungsweisen:
> > [mm]x=x_k=\delta_{kj}[/mm] ????.
>  
> >  

> > Ich vermute Du meinst folgendes: wir wählen x [mm]\in l^p[/mm] so,
> > dass die k-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen
> > Koordinaten sind =0.
>  genau. wie könnte ich das denn schöner betiteln?
>  laut Aufgabernstellung gilt ja : [mm]x=(x_k) \in l^p.[/mm] wäre
> dann evt [mm]x_{k}^{j}[/mm] für den speziell gewählten Vektor
> besser?

Drücke es doch so aus, wie ich es oben gemacht habe.


>  >  
> >
> > >  

> > > und somit
>  >  >  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>  
> >  

> > Hmmmm, hast Du hier k und j vertauscht ?
>  denke nicht.. denn zb die Eintrage k=1,k=2 bis j-1 sollen
> 0 sein
> der Eintrag j=1 und dann die Eintrage von j+1 bis [mm]\infty[/mm]
> wieder 0.


O.K. dann wir wählen x $ [mm] \in l^p [/mm] $ so, dass die j-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen Koordinaten sind =0.

>  und dann hätte ich ja
> [mm](\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=(|m_1x_1|^p+|m_2x_2|^p+...+|m_{j-1}x_{j-1}|^p+|m_jx_j|^p+|m_{j+1}x_{j+1}|^p+..+||m_{\infty}x_{\infty}|^p){\bruch{1}{p}}=(0+0+...+0+|m_j*1|^p+0+...0)^{\bruch{1}{p}}=(|m_j|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>  >  
> > Ja, dann bekommen wir [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)} \ge |m_k|[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > also ist doch auch
>  >  >  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > und somit
>  >  >  
> > > [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>  
> >  

> Vielen Dank!


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