beste Approx. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:30 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Beweise diesen Satz:
Jeder endlich-dim Teilraum E eines normierten Vektorraums X ist proximal, d.h. für alle f [mm] \in [/mm] X existiert ein u* [mm] \in [/mm] E, so dass
[mm] \| [/mm] f - u* [mm] \| [/mm] = [mm] \inf_{u \in E} \|f [/mm] - [mm] u\|.
[/mm]
Das Element u* heißt Element bester Approximation oder auch Proximum.
Tip: Für bel. festes f [mm] \in [/mm] X sei d := [mm] inf_{u \in E} \|f [/mm] - [mm] u\|. [/mm] Dann existiert eine Folge [mm] \{u_k\}_{k \in N} [/mm] mit [mm] \lim_{k \rightarrow \infty} \|f [/mm] - [mm] u_k\| [/mm] = d. Zeige nun, dass die Folge beschränkt ist und somit eine konvergente Teilfolge besitzt. |
Hallo,
ich habe zu dieser Aufgabe folgende Lösung gelesen:
Sei u ein Häufungspunkt von [mm] \{u_v\}, [/mm] d.h. es ex. eine Teilfolge [mm] (u_{v_\mu)} [/mm] die gegen u konvergiert:
[mm] \forall \epsilon \exists [/mm] N' [mm] \forall \mu [/mm] > N' : [mm] \| [/mm] u - [mm] u_{v_\mu} \| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Außerdem gelte dann weiter, dass
[mm] \forall \epsilon \exists [/mm] N'' [mm] \forall \mu [/mm] > N'' : [mm] \| \| [/mm] v - [mm] u_{v_\mu} \| [/mm] - d [mm] \| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Sei nun N := [mm] max\{N',N''\} [/mm] und sei [mm] \mu [/mm] > N, dann folgt [mm] \|u [/mm] - [mm] u_{v_\mu} \| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \| \| [/mm] v - [mm] u_{v_\mu} \| [/mm] - d [mm] \| [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Mit Hilfe der Dreiecksungleichung kommt man dann hierzu:
[mm] \| [/mm] v - u [mm] \| \leq \|v [/mm] - [mm] u_{v_\mu}\| [/mm] + [mm] \|u_{v_\mu} [/mm] - u [mm] \| \leq \epsilon [/mm] + d + [mm] \epsilon, [/mm] also für [mm] \epsilon [/mm] beliebig klein
[mm] \|v [/mm] - u [mm] \| \leq [/mm] d. Allerdings haben wir von Def. nach d ja auch d [mm] \leq \|v-u\|, [/mm] also muss
d = [mm] \|v-u\| [/mm] sein und damit u ein Proximum.
Jetzt hab ich zwei Fragen zu diesem Beweis. Bei dem Tip steht ja eigentlich man soll zeigen, dass die Folge beschränkt ist und somit eine konvergente Teilfolge hat. Warum hat man hier einfach einen Häufungspunkt nehmen können? Woher weiß man dass es ihn gibt, wegen des Grenzwerts?
Und wie kommt man auf diese Doppelnorm? Weil [mm] \| v-u_{v_\mu} \| [/mm] nach Annahme gegen d konvergiert?
Wäre super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet...
Viele Grüße,
Riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:47 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
hier noch eine Ergänzung. Leider sind die Bezeichnungen glaub ich etwas ungeschickt, aber es passt zu dem Beweis von oben.
Kann man die Beschränktheit so zeigen:
Laut Def. von d gilt ja dann
[mm] \forall \epsilon \exists N_{\epsilon} \vorall \nu [/mm] > N: [mm] \| \| u_{\nu} [/mm] - v [mm] \| [/mm] - d [mm] \| [/mm] < [mm] \epsilon, [/mm] d.h.
[mm] \forall \nu [/mm] > N: d [mm] \leq \| u_{\nu} [/mm] - v [mm] \| [/mm] < d + [mm] \epsilon.
[/mm]
Weiter gilt
[mm] \|u_{\nu}\| [/mm] = [mm] \| u_{\nu} [/mm] - v + v [mm] \| \leq \| u_{\nu} [/mm] - v [mm] \| [/mm] + [mm] \| [/mm] v [mm] \| [/mm] < d + [mm] \epsilon [/mm] + [mm] \|v\| [/mm] := K'.
Außerdem gilt für [mm] \nu \leq [/mm] N dass
[mm] u_{\nu} \leq max\{ \|u_1\|, \|u_2\|,..., \|u_N\|\} [/mm] := K''.
Wähle nun K:= [mm] max\{K',K''\} [/mm] dann folgt [mm] \forall \nu :\|u_{\nu}\| \leq [/mm] K.
D.h. wir haban nun die Beschränktheit gezeigt und jede beschränkte unendliche Teilfolge hat einen Häufungspunkt. Außerdem ist E ein endl-dim Teilraum eines normierten VR's ist, ist er als toplogischer VR abgeschlossen in X.
Stimmt der Beweis dann so? Oder kann man das irgendwie noch schneller/beser/anders/schöner zeigen? 
Viele Grüße,
Riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 06.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
