bestimme dimension dim(U\capV) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 So 13.11.2005 | | Autor: | tempo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo, habe folgende aufgabe:
Sei U der durch (1,2,0) und (2,0,1) sowie V der durch (1,1,2) und (4,2,1) aufgespannte Untervektorraum des [mm] \RR^3. [/mm] Bestimmen Sie dim(U [mm] \cap [/mm] V) und dim(U+V), und geben sie eine Basis für U [mm] \cap [/mm] V an.
also ich weiß das U und V ebenen sind, somit ist U [mm] \cap [/mm] V eine gerade (da ebenen nicht parallel oder ident.) reicht es jetzt also wenn ich die ebenen gleichsetzte und die gerade als basis annehme??? somit wäre dann die dim(U [mm] \cap [/mm] V)=1 oder? und bei dim(U+V) habe ich eine dreicksmatrix (oder wie das heißt) der 4 gegebnenen vektoren ausgerechnet und habe 3 vektoren als basis raus z.B. [mm] \vmat{0&-1&2\\1&2&0\\0&0&1\\0&0&0} [/mm] und damit wäre die dim(U+V)=3 oder? aber normalerweise ist doch (dim=2 + dim=2) = dim=4 ???? würde mich über ein bisschen klarheit freuen! und danke schonmal im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> also ich weiß das U und V ebenen sind, somit ist U $ [mm] \cap [/mm] $ V eine gerade (da ebenen nicht parallel oder ident.)
Richtig, das ist anschaulich korrekt argumentiert. Dennoch halte ich es für besser, dass du dich von der Anschauung des Raumes zu lösen versuchst, denn schließlich könnte diese Aufgabe auch mit vierdimensionalen Unterräumen - also Hyperebenen - des [mm] $\IR^5$ [/mm] gestellt werden.
> reicht es jetzt also wenn ich die ebenen gleichsetzte und die gerade als basis annehme???
Mit "Ebenen gleichsetzen" meinst du sicher das richtige; siehe unten. Eine Gerade allerdings kannst du nicht als Basis nehmen. Wie du richtig vermutest, ist der Schnitt der beiden Mengen anschaulich gesprochen eine Gerade, d.h. ein eindimensionaler Unterraum des [mm] $\IR^3$. [/mm]
Ich würde die Aufgabe so lösen:
Weise nach, dass $dim(U)=dim(V)=2$ ist. Dann gilt für [mm] $dim(U\cup [/mm] V)$: [mm] $dim(U\cup V)=dim(U)+dim(V)-dim(U\cap V)=4-dim(U\cap [/mm] V)$. Du siehst also, dass es hinreichend ist, die Dimension von [mm] $U\cap [/mm] V$ oder [mm] $U\cup [/mm] V$ zu bestimmen und dass du daraus sofort die zweie Dimension bestimmen kannst. Es bietet sich an, die Dimension von [mm] $U\cup [/mm] V$ zu bestimmen. Es lässt sich vermuten, dass [mm] $dim(U\cup [/mm] V)=3$ gilt; um dies zu zeigen, brauchst du lediglich drei linear unabhängige Vektoren als [mm] $U\cup [/mm] V$ zu finden. Da reichen schon die erzeugenden Vektoren. Nimm dir die Vektoren [mm] $\vektor{1\\ 2\\ 0},\vektor{2\\ 0\\ 1},\vektor{1\\ 1\\ 2}$. [/mm] Indem du die Determinante von [mm] $\pmat{1 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\0 & 1 & 2}$ [/mm] bestimmst, siehst du ein, dass sie linear unabhängig sind. Damit ist bereits gezeigt, dass [mm] $dim(U\cup V)\geq [/mm] 3$ und wegen [mm] $U\cup V=\IR^3$ [/mm] auch [mm] $dim(U\cup [/mm] V)=3$, also [mm] $U\cup V=\IR^3$ [/mm] gilt. Es folgt sofort [mm] $dim(U\cap V)=4-dim(U\cup [/mm] V)=4-3=1$. Eine Basis von [mm] $U\cap [/mm] V$ lässt sich nun leicht bestimmen - als eindimensionaler Vektorraum wird [mm] $U\cap [/mm] V$ von einem einzigen Vektor erzeugt; wir müssen also lediglich einen einzigen vom Nullvektor verschiedenen Vektor aus [mm] $U\cap [/mm] V$ finden; sie dies der Vektor $v$, dann folgt sofort [mm] $U\cap V=\langle v\rangle$, [/mm] d.h. [mm] $\{v\}$ [/mm] ist Basis von [mm] $U\cap [/mm] V$. Diesen Vektor zu finden überlasse ich dir selbst.
Liebe Grüße,
Hanno
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