bestimme rationale Nullstellen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Bestimme die rationalen Nullstellen von [mm]x^3-\bruch{3}{4}x-\bruch{1}{8}[/mm] . |
Hallo!
Ich multiplizier die Gleichung zunächst mit 8.
Ich erhalte [mm]8x^3-6x-1[/mm]. Nun weiß ich, dass fall eine rationale Nullstelle [mm] \alpha [/mm] exisitiert, so hat [mm] \alpha [/mm] die Form [mm] \alpha=\bruch{r}{s}, r \in \IZ [/mm] und s [mm] \in \IN.
[/mm]
Außerdem muss [mm] r|a_0 [/mm] und [mm] s|a_n [/mm] gelten mit ggT(r,s)=1.
[mm]\Rightarrow r|1 \Rightarrow r=\pm 1[/mm]
[mm]\Rightarrow s|8 \Rightarrow s=1,2,4,8[/mm]
Also ist möglich dass [mm] \alpha= \pm1,\pm\bruch{1}{2}, \pm \bruch{1}{4}, \pm \bruch{1}{8}
[/mm]
Aber es ergibt für kein [mm] \alpha [/mm] dass [mm] f(\alpha)=0. [/mm] Also gibt es keine rationale Nullstelle.
Ist das richtig? Weil die Aufgabe heißt "Bestimme die rationalen Nullstellen".
lg Lyrn
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Hallo Lyrn,
> Bestimme die rationalen Nullstellen von
> [mm]x^3-\bruch{3}{4}x-\bruch{1}{8}[/mm] .
> Hallo!
> Ich multiplizier die Gleichung zunächst mit 8.
> Ich erhalte [mm]8x^3-6x-1[/mm]. Nun weiß ich, dass fall eine
> rationale Nullstelle [mm]\alpha[/mm] exisitiert, so hat [mm]\alpha[/mm] die
> Form [mm]\alpha=\bruch{r}{s}, r \in \IZ[/mm] und s [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Außerdem muss [mm]r|a_0[/mm] und [mm]s|a_n[/mm] gelten mit ggT(r,s)=1.
> [mm]\Rightarrow r|1 \Rightarrow r=\pm 1[/mm]
> [mm]\Rightarrow s|8 \Rightarrow s=1,2,4,8[/mm]
>
> Also ist möglich dass [mm]\alpha= \pm1,\pm\bruch{1}{2}, \pm \bruch{1}{4}, \pm \bruch{1}{8}[/mm]
>
> Aber es ergibt für kein [mm]\alpha[/mm] dass [mm]f(\alpha)=0.[/mm] Also gibt
> es keine rationale Nullstelle.
>
> Ist das richtig? Weil die Aufgabe heißt "Bestimme die
> rationalen Nullstellen".
Unter den angegebenen möglichen rationalen Nullstellen
ist keine Nullstelle des Polynoms [mm]x^3-\bruch{3}{4}x-\bruch{1}{8}[/mm] .
>
> lg Lyrn
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Lyrn |
Hallo,
danke erstmal für deine Antwort!
> Unter den angegebenen möglichen rationalen Nullstellen
> ist keine Nullstelle des Polynoms
> [mm]x^3-\bruch{3}{4}x-\bruch{1}{8}[/mm] .
Ja das ist mir schon klar, meine Frage ist eher ob es denn stimmt dass die Gleichung keine rationalen Nullstellen besitzt oder ob ich einfach irgendetwas übersehen habe.
lg
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Hallo Lyrn,
> Hallo,
> danke erstmal für deine Antwort!
>
> > Unter den angegebenen möglichen rationalen Nullstellen
> > ist keine Nullstelle des Polynoms
> > [mm]x^3-\bruch{3}{4}x-\bruch{1}{8}[/mm] .
>
> Ja das ist mir schon klar, meine Frage ist eher ob es denn
> stimmt dass die Gleichung keine rationalen Nullstellen
> besitzt oder ob ich einfach irgendetwas übersehen habe.
Nein, da hast Du nichts übersehen.
>
> lg
Gruss
MathePower
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