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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Sa 17.11.2007 | | Autor: | duebben |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Zahlenfolgen
a) [mm] a_{n}=(1+\bruch{1}{n})^{n+101}
[/mm]
b) [mm] a_{n}=(1-\bruch{1}{n})^n [/mm] |
Habe mir dazu schon ein paar Gedanken gemacht.
Bei a) kann man dass ja auch so schreiben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{101}
[/mm]
Der erste Faktor geht gegen e. Der zweite konvergiert meiner Meinung nach gegen 1, da der Exponent eine konstante ist. Demnach konvergiert die gesamte Folge gegen e.
Ist das so richtig, und wenn ja, wie kann man beweisen, dass der zweite Faktor gegen 1 geht? hab das nämlich nur durch einhämmern in den Taschenrechner rausbekommen.
Zu b) weiss ich, dass da [mm] \bruch{1}{e} [/mm] rauskommt. Aber wie ich das herleiten kann, weiss ich noch nicht so richtig. Durch Umformungen bin ich jetzt bis
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n-1)^n}{n^n}
[/mm]
gekommen. Das wäre ja aber [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] und das ist ja nicht bestimmt.
Wäre schön wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die Grenzwerte der folgenden Zahlenfolgen
> a) [mm]a_{n}=(1+\bruch{1}{n})^{n+101}[/mm]
> b) [mm]a_{n}=(1-\bruch{1}{n})^n[/mm]
> Habe mir dazu schon ein paar Gedanken gemacht.
>
> Bei a) kann man dass ja auch so schreiben:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^n*\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{101}[/mm]
> Der erste Faktor geht gegen e. Der zweite konvergiert
> meiner Meinung nach gegen 1, da der Exponent eine konstante
> ist. Demnach konvergiert die gesamte Folge gegen e.
> Ist das so richtig, und wenn ja, wie kann man beweisen,
> dass der zweite Faktor gegen 1 geht?
Hallo,
bestimmt hast Du schon gelernt, daß [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n*\limes_{n\rightarrow\infty}b_n, [/mm] und das kannst Du für [mm] (1+\bruch{1}{n})^{101} [/mm] verwenden.
> hab das nämlich nur
> durch einhämmern in den Taschenrechner rausbekommen.
Um eine passende Behauptung zu finden, ist das manchmal recht nützlich...
>
> Zu b) weiss ich, dass da [mm]\bruch{1}{e}[/mm] rauskommt. Aber wie
> ich das herleiten kann, weiss ich noch nicht so richtig.
> Durch Umformungen bin ich jetzt bis
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n-1)^n}{n^n}[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(\bruch{n}{n-1})^n}=...
[/mm]
Vielleicht kommst Du hiermit schon weiter.
Gruß v. Angela
> gekommen. Das wäre ja aber [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] und das
> ist ja nicht bestimmt.
> Wäre schön wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Sa 17.11.2007 | | Autor: | duebben |
Schönen Dank für deine schnelle Hilfe.
Ist ja an sich ganz einfach, aber manchmal hat man vor lauter Zahlen im Kopf nicht mehr die richtigen Ideen.
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