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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mo 12.11.2007 | | Autor: | beta81 |
| Aufgabe | [mm] |\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\vec{b}+|\vec{b}|^2 [/mm] (1)
[mm] |\vec{a}|^2-\frac{(\vec{a}\vec{b})^2}{|\vec{b}|^2}\ge [/mm] 0 (2) |
hallo,
kann mir einer bitte sagen, warum in gl. (1) im zweiten summanden keine betragszeichen stehen, und warum gl. (2) größer gleich 0 sein soll?
danke!
gruss beta
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> [mm]|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\vec{b}+|\vec{b}|^2[/mm]
> (1)
> [mm]|\vec{a}|^2-\frac{(\vec{a}\vec{b})^2}{|\vec{b}|^2}\ge[/mm] 0
> (2)
> hallo,
>
> kann mir einer bitte sagen, warum in gl. (1) im zweiten
> summanden keine betragszeichen stehen, und warum gl. (2)
> größer gleich 0 sein soll?
>
> danke!
>
> gruss beta
Hi,
wie ist denn die Länge eines Vektors [mm] $\vec{v}$ [/mm] im [mm] $\mathrm{R}^3$ [/mm] definiert?
Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Mo 12.11.2007 | | Autor: | beta81 |
hi stefan,
durch seinen betrag. also ist [mm] |\vec{a}||\vec{b}|=\vec{a}\vec{b}. [/mm]
gleichung (2) versteh ich aber noch nicht?
gruss beta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> durch seinen betrag. also ist
> [mm]|\vec{a}||\vec{b}|=\vec{a}\vec{b}.[/mm]
hier gilt im allgemeien nur [mm] "$\geq$" [/mm] - vergleiche die cauchy-schwarz-ungleichung. beachte dazu, dass die norm meist von einem skalarprodukt induziert wird.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mo 12.11.2007 | | Autor: | beta81 |
hi,
warum darf ich dann in gl. (1) die betragsstriche im 2ten summanden weglassen, wenn nur [mm] \ge [/mm] gilt? das duerfte ich dann nur machen, wenn es genau gleich waere, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
schau mal nach, wie bei euch [mm] $|\overrightarrow{a}|$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}$ [/mm] (skalarprodukt) definiert ist. ich vermute mal für [mm] $\overrightarrow{a} [/mm] = [mm] (a_1, [/mm] ..., [mm] a_n)^t \in \mathbb{R}^n$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{b} [/mm] = [mm] (b_1, [/mm] ..., [mm] b_n)^t \in \mathbb{R}^n$ [/mm] ist [mm] $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} [/mm] := [mm] \sum_{i=1}^n a_ib_i$ [/mm] und [mm] $|\overrightarrow{a}| [/mm] := [mm] \sqrt{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}}$. [/mm] damit sollte sich alles von hand nachrechnen lassen.
grüße
andreas
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Hallo beta81!
> [mm]|\vec{a}|^2-\frac{(\vec{a}\vec{b})^2}{|\vec{b}|^2}\ge[/mm] 0 (2)
Multipliziere die Gleichung mit [mm] $|\vec{b}|^2$ [/mm] und addiere anschließend [mm] $(\vec{a}*\vec{b})^2$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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