betragsungleichungen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe das beispiel :
[mm] \left|x+1\right|$ \le [/mm] $ [mm] \left|3x/2\right|
[/mm]
und weil ich bei diesem beispiel 2 beträge habe muss ich 4 fälle unterscheiden !?
1fall:
x+1 $ [mm] \ge [/mm] $ 0
x+1$ [mm] \le [/mm] $ [mm] \left|3x/2\right|
[/mm]
-----------------------------------
fall 1a fall1b
x+1 $ [mm] \ge [/mm] $ 0 x+1 $ [mm] \ge [/mm] $ 0
3x/2 $ [mm] \ge [/mm] $ 0 3x/2< 0
x+1$ [mm] \le [/mm] $ 3x/2 x+1$ [mm] \le [/mm] $ 3x/2
--------------------------------------------------------------------
fall 1a und fall 1b ausrechnen
fall 1a
x $ [mm] \ge [/mm] $ -1
bei 3x/2 $ [mm] \ge [/mm] $ 0 hab ich ein Problem ! Wie rechne ich x aus?
bitte um rückschrift!
danke
lg
martin
|
|
| |
|
Bitte in Analysis o.Ä. verschieben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Sorry, aber hier stand leider nicht viel richtiges.
DieAcht
|
|
|
| |
|
die lösung wäre dann 2 und -1/5 ,oder?
wenn ich vier fälle habe müsste die gleichung so ausschauen :
[mm] \left|x+1\right| [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $ $ [mm] \left|3x/2-3\right| [/mm] ?
wie funktioniert das eigentlich mit den Fallunterscheidungen ?
Können Sie mir das verständlich erklären ?
lg
martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Sorry, aber hier stand leider nicht viel richtiges.
DieAcht
|
|
|
| |
|
Sei $ [mm] x\ge [/mm] 0 $, dann gilt:
$ [mm] x+1\le\frac{3}{2}x [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow\ldots [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow\IL_1:= [/mm] 2 $ [mm] \le [/mm] $ x
Sei $ x<0 $, dann gilt:
$ [mm] -(x+1)\le -\frac{3}{2}x [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow\ldots [/mm] $=
$ [mm] \Rightarrow\IL_2:= [/mm] -1/5 $ [mm] \le [/mm] $ x
$ [mm] \Rightarrow \IL:=\IL_1\cap\IL_2= [/mm] -1/5,2
was passt bei dieser auflösung nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Sorry, aber hier stand leider nicht viel richtiges.
DieAcht
|
|
|
| |
|
[mm] \left| x+1 \right| [/mm] $ [mm] \le [/mm] $ [mm] \left| 3x/2 \right|
[/mm]
x $ [mm] \ge [/mm] $ 0
x+1 $ [mm] \le [/mm] $ 3x/2 /*2
2x+2 $ [mm] \le [/mm] $ 3x /-2x
2 $ [mm] \le [/mm] $ x
x<0
-(x+1) $ [mm] \le [/mm] $ 3x/2
-x-1 $ [mm] \le [/mm] $ 3x/2 /*2
-2x-1 $ [mm] \le [/mm] $ 3x /+2x
-1 $ [mm] \le [/mm] $ 5x /:5
-1/5 $ [mm] \le [/mm] $ x
Was passt nicht ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Sorry, aber hier stand leider nicht viel richtiges.
DieAcht
|
|
|
| |
|
also der erste fall mit x $ [mm] \ge [/mm] $ 2 ist richtig?
dann hab ich nochmals den zweiten fall berechnet und bin auf x $ [mm] \le [/mm] $ 2 gekommen!
passt das jetzt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Sorry, aber hier stand leider nicht viel richtiges.
DieAcht
|
|
|
| |
|
L= { x/ 2 $ [mm] \ge [/mm] $ x $ [mm] \le [/mm] $ 2 }
passt?
|
|
|
| |
|
L= x/ 2 $ [mm] \ge [/mm] $ x $ [mm] \le [/mm] $ 2
oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
> L= x/ 2 [mm]\ge[/mm] x [mm]\le[/mm] 2
>
>
> oder?
Nein. Das ist keine Menge und macht so auch keinen Sinn.
DieAcht
|
|
|
| |
|
wie würde das ergebnis dieser ungleichung aussehen:
3x/2 $ [mm] \ge [/mm] $0
das würde eine falsche aussage sein , ich kann nicht nach x auflösen denn wenn ich 2 mit 0 multipliziere und 0 durch 3 dividiere würde das keinen sinn machen , oder läuft das anders?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> wie würde das ergebnis dieser ungleichung aussehen:
>
> 3x/2 [mm]\ge [/mm]0
>
> das würde eine falsche aussage sein , ich kann nicht nach
> x auflösen denn wenn ich 2 mit 0 multipliziere und 0 durch
> 3 dividiere würde das keinen sinn machen , oder läuft das
> anders?
>
doch das macht Sinn und weil [mm] \bruch{2*0}{3}=0 [/mm] ist, ist deine Ungleichung äquivalent zu [mm] x\ge0.
[/mm]
Gruß Sax.
>
|
|
|
| |
|
ich meine wenn ich die Ungleichung nach x auflöse!
würde das ergebnis immer noch x kleinergleich 0 sein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mo 10.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Es würde Dir sicher helfen, wenn Du Dich an die Schreibweisen gewöhnen würdest.
Damit ist auch ein Gewinn an Verständnis verbunden.
Machen wir es Schritt für Schritt. Du suchst die Lösungsmenge für
[mm] $\bruch{3x}{2} \ge [/mm] 0$
Nun formst Du um: beide Seiten mit 2 multiplizieren:
$3x [mm] \ge [/mm] 0$
Beide Seiten mit [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] multiplizieren:
$x [mm] \ge [/mm] 0$
> ich meine wenn ich die Ungleichung nach x auflöse!
Das ist doch genau das, was oben getan wurde und was Sax Dir geschrieben hat.
>
> würde das ergebnis immer noch x kleinergleich 0 sein
Du hast diese Aussage einfach hin geschrieben. Es fehlt die Herleitung.
Vergleiche mit dem, was herausgekommen ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Benutze doch bitte die Editierfunktion.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
[mm] \{x |2 $ \le $ x $ \ge $ 2 \}
[/mm]
ok ich kenn mich mit diesem Formeleditor nicht aus , aber die menge lautet:
x ist größergleich 2 und x ist kleinergleich 2.
ich denke das müsste so passen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mo 10.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> [mm]x |2 \le x \ge 2 [/mm]
Meinst Du dieses:
[mm]L = \{x|2 \le x \vee x \ge 2 \}[/mm]?
>
> ok ich kenn mich mit diesem Formeleditor nicht aus ,
Da könntest Du Dich aber mal mit befassen. Mit einem Mausklick kannst Du Dir den Quelltext ansehen.
> aber die menge lautet:
> x ist größergleich 2 und x ist kleinergleich 2.
Da bleibt nur x = 2 übrig.
>
> ich denke das müsste so passen!
>
Die Mathematik habe ich nicht kontrolliert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Mit dieser Mitteilung geht die doppelte Frage weg. 
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 22:04 Mo 10.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo highlandgold,
>
>
> > ich habe das beispiel :
> > [mm]\left|x+1\right|[/mm] [mm]\le[/mm] [mm]\left|3x/2\right|[/mm]
> > und weil ich bei diesem beispiel 2 beträge habe muss
> ich 4
> > fälle unterscheiden !?
>
> Nein. Es bleiben weiterhin zwei Fälle.
>
> > 1fall:
> > x+1 [mm]\ge[/mm] 0
> > x+1[mm] \le[/mm] [mm]\left|3x/2\right|[/mm]
> > -----------------------------------
> > fall 1a
> fall1b
> > x+1 [mm]\ge[/mm] 0 x+1 [mm]\ge[/mm] 0
> > 3x/2 [mm]\ge[/mm] 0 3x/2< 0
> > x+1[mm] \le[/mm] 3x/2 x+1[mm] \le[/mm]
> > 3x/2
> >
> >
> --------------------------------------------------------------------
> > fall 1a und fall 1b ausrechnen
> >
> > fall 1a
> > x [mm]\ge[/mm] -1
> > bei 3x/2 [mm]\ge[/mm] 0 hab ich ein Problem ! Wie rechne ich
> x
> > aus?
>
> Du kannst nicht Zeilen einfach untereinander schreiben
> ohne
> einen Zusammenhang. Ich verstehe ehrlich gesagt auch
> nicht
> ganz was du das probiert hast zu tun. Ich denke, dass man
> hier den Vorgang einmal gesehen haben muss, damit man es
> an-
> wenden kann, deshalb will ich dir einen möglichen
> Leitplan
> geben. Wir betrachten zwei Fälle. Ich nehme mal an, dass
> du
> nur nach einer reellen Lösungsmenge suchst. Ansonsten
> musst
> du mir das sagen!
>
> Sei [mm]x\ge 0[/mm], dann gilt:
>
> [mm]x+1\le\frac{3}{2}x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\ldots[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\IL_1:=\ldots[/mm]
>
> Sei [mm]x<0[/mm], dann gilt:
>
> [mm]-(x+1)\le -\frac{3}{2}x[/mm]
Hallo DieAcht,
die Unterscheidung zwischen
|x+1|= x+1 bzw |x+1|=-(x+1) erfolgt nicht an der "Trennlinie" x=0, sondern bei x=-1.
Es ist völlig in Ordnung, wenn man erst einmal von 4 Fällen ausgeht (selbst wenn im Nachhinein sich einige dieser Fälle durch innere Widersprüche erledigen).
Gruß Abakus
>
> [mm]\Rightarrow\ldots[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\IL_2:=\ldots[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \IL=\ldots[/mm]
>
>
> Gruß
> DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:27 Mo 10.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Ich habe dir bereits eine Nachricht gesendet, dennoch will
ich mich bei den Fragenden für die Umstände entschuldigen.
Ich habe alle meine Antworten als Mitteilung editiert.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
da du im Moment (Stand : 22:36) überhaupt keine Antwort auf deine Frage hast, hier noch einmal eine Zusammenfassung :
Die Idee, 4 Fälle zu unterscheiden, ist zunächst einmal richtig.
>
> 1fall:
> x+1 [mm]\ge[/mm] 0
> x+1[mm] \le[/mm] [mm]\left|3x/2\right|[/mm]
> -----------------------------------
> fall 1a fall1b
> x+1 [mm]\ge[/mm] 0 x+1 [mm]\ge[/mm] 0
> 3x/2 [mm]\ge[/mm] 0 3x/2< 0
> x+1[mm] \le[/mm] 3x/2 x+1[mm] \le[/mm]
> 3x/2
>
> --------------------------------------------------------------------
> fall 1a und fall 1b ausrechnen
>
> fall 1a
> x [mm]\ge[/mm] -1
> bei 3x/2 [mm]\ge[/mm] 0 hab ich ein Problem ! Wie rechne ich x
> aus?
>
> bitte um rückschrift!
>
> danke
>
> lg
> martin
1a. [mm] x+1\ge [/mm] 0 und [mm] 1,5x\ge [/mm] 0 führt zur Ungleichung [mm] x+1\le [/mm] 1,5x , also [mm] x\ge [/mm] 2.
In diesem Bereich sind die aus der Fallunterscheidung herrührenden Voraussetzungen erfüllt.
1b. [mm] x+1\ge [/mm] 0 und 1,5x < 0 führt zur Ungleichung [mm] x+1\le [/mm] -1,5x , also [mm] 2,5x\le-1 [/mm] und somit [mm] x\le [/mm] -0,4.
In diesem Bereich sind die aus der Fallunterscheidung herrührenden Voraussetzungen nicht automatisch erfüllt, sondern [mm] x+1\ge [/mm] 0 , also [mm] x\ge [/mm] -1 und [mm] x\le [/mm] -0,4 gilt nur im Intervall [mm] -1\le x\le [/mm] -0,4.
Entsprechend musst du die Fälle 2a. x+1 < 0 und [mm] 1,5x\ge [/mm] 0 sowie 2b. x+1 < 0 und 1,5x < 0 abarbeiten.
Die Lösungsmenge ist dann die Vereinigung der vier erhaltenen Intervalle.
Eine Skizze der Graphen kann dir die Situation vielleicht verdeutlichen und dir zeigen, wie du etwas Arbeit sparen kannst, indem du nur die beiden entscheidenden Schnittstellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ausrechnest und dann entscheidest, in welchem Bereich der grüne Graph oberhalb des roten liegt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
hallo,
danke erstmal !
also ich habe mir die Skizze angeschaut und habe festgestellt das sich die bertäge bei x1=-0,4 und x2=2 kreuzen.
also ist dann die Lösungsmenge zwischen 0,4 und 2 ?
L=x größergleich -4 und x kleinergleich 2 ??
Ist das bei jeder ungleichung so das die Lösungen immer dort liegen wo sie sich kreuzen? oder kann das anders auch sein?
Bitte um rückschrift!
Danke
lg
|
|
|
| |
|
Hallo, ich glaube, du hast die Ungleichung immer noch nicht verstanden, du erkannst in der Skizze von Sax die Funktionen
f(x)=|x+1| ist rot gezeichnet
[mm] g(x)=|\bruch{3}{2}x| [/mm] ist grün gezeichnet
an den Stellen -0,4 und 2 schneiden sich beide Funktionen, gefragt war
[mm] |x+1|\le|\bruch{3}{2}x|
[/mm]
zu deutsch, wann liegt die rote Funktion unterhalb der grünen Funktion, bzw. wann sind sie gleich, da steht [mm] \le
[/mm]
zur Lösungsmege gehören also alle reellen Zahlen mit [mm] x\le-0,4 [/mm] und [mm] x\ge2
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
da hast du recht mit dem verständnis ist gleich null.
womit ich probleme habe ist das herausfinden der lösungen!
wenn ich x+1 $ [mm] \ge [/mm] $ 0 setze dann bekomm ich für x $ [mm] \ge [/mm] $ -1 -> das ist mir schon klar.
aber wenn ich 3x/2 $ [mm] \ge [/mm] $0 setze was bekomm ich hier raus? etwa x $ [mm] \ge [/mm] $ 0 . ich meine wenn ich die gleichung auflöse muss ich zuerst mit 2 multiplizieren und 2*0 ist 0 und dassellbe gilt für die 3.
ist null die richtige lösung?
wie ich auf die endlösung komme ist mir ein rätsel , also das versteh ich nicht. also mit der zeichnung kann man die endlösung auch nicht herausfinden oder?
lg
|
|
|
| |
|
EDITIERT
Hallo,
> da hast du recht mit dem verständnis ist gleich null.
hm.
>
> womit ich probleme habe ist das herausfinden der
> lösungen!
Achso.
>
> wenn ich x+1 [mm]\ge[/mm] 0 setze dann bekomm ich für x [mm]\ge[/mm] -1 ->
> das ist mir schon klar.
>
> aber wenn ich 3x/2 [mm]\ge [/mm]0 setze was bekomm ich hier raus?
> etwa x [mm]\ge[/mm] 0 .
Ja, natürlich!
Welche Zahlen ergeben mit 3/2 multipliziert eine Zahl, die größergleich 0 ist?
Natürlich alle Zahlen, die größergleich 0 sind.
> wie ich auf die endlösung komme ist mir ein rätsel ,
Oh. Dabei ist der Thread schon so lang.
> also
> das versteh ich nicht. also mit der zeichnung kann man die
> endlösung auch nicht herausfinden oder?
Hast Du denn Steffis Post gelesen?
Dort wurde erklärt, wie man es an der Zeichung ablesen kann:
rot ist der Graph zu |x+1|,
grün ist der Graph zu [mm] |\bruch{3}{2}x|.
[/mm]
Du sollst sagen, für welche Zahlen x gilt, daß [mm] |x+1|\le |\bruch{3}{2}x|,
[/mm]
für welche Zahlen x also der rote Graph unter dem grünen liegt.
Prinzipiell kann man das am Graphen ablesen:
Unterhalb von [mm] x_1 [/mm] ist es der Fall und oberhalb von [mm] x_2.
[/mm]
Aber das genaue Ablesen dieser Werte kann Probleme machen,
und deshalb muß man es ausrechnen können.
Nur, wenn Du bis hierher alles verstanden hast, solltest Du weiterlesen.
---
Wie findet man heraus, ob eine Funktion f(x) unter einer Funktion g(x) verläuft?
Indem man f(x)<g(x) löst.
Für manche Funktionen ist das leicht. Nehmen wir mal f(x)=3x und g(x)=x+1.
Zu lösen ist f(x)<g(x),
also
3x<x+1
<==>
2x<1
<==>
x<0.5.
Ergebnis: für alle x<0.5 ist der Graph von f(x) unter dem von g(x).
Nur wenn Du das verstanden hast, lies weiter.
----
Du sollst diese Frage nun beantworten für f(x)=|x+1| und g(x)=|1.5x|.
Diese beiden Funktionen bergen durch den Betrag eine Komplikation in sich:
sie sind nicht aus einem Guß, sondern jede der beiden Funktionen besteht aus zwei Abschnitten.
Bei einem Blick auf die Graphen wird das deutlich.
Es ist
[mm] |x+1|=\begin{cases} -(x+1), & \mbox{für } x<-1 \\ x+1, & \mbox{für } x\ge \red{-}1 \end{cases}
[/mm]
und
[mm] |1.5x|=\begin{cases} -1.5x, & \mbox{für } x<0 \\ 1.5x, & \mbox{für } x\ge 0 \end{cases}.
[/mm]
Verstanden?
Markiere Dir mal auf der x-Achse die bedeutungsvollen Stellen x=-1, x=0.
Sie unterteilen die Achse in 3 Bereiche, die wir getrennt untersuchen werden:
1. x<-1
2. [mm] -1\le [/mm] x <0
3. [mm] 0\le [/mm] x
Verstanden?
Wir beginnen mit
1. x<-1.
Zu untersuchen ist für diese x-Werte
[mm] |x+1|\le|1.5x|
[/mm]
Schau nun auf die abschnittweise Definition für die beiden Funktionen.
Für x<-1 ist |x+1|=-(x+1) und |1.5x|=-1.5x.
Verstanden?
Also müssen wir lösen
[mm] -(x+1)\le [/mm] -1.5x
<==>
[mm] x+1\ge [/mm] 1.5x
<==>
[mm] 1\ge [/mm] 0.5 x
<==>
[mm] 2\ge [/mm] x.
Ergebnis: für die Zahlen x, für welche gleichzeitig x<-1 und [mm] x\le [/mm] 2 gilt, ist die Gleichung gelöst.
Das sind die x mit x<-1,
und damit haben wir das erste Teilintervall gefunden, in welchem die Gleichung gilt.
Verstanden?
Dann geht es weiter mit
2. [mm] -1\le [/mm] x <0
Schau nun auf die abschnittweise Definition für die beiden Funktionen.
Für [mm] -1\le [/mm] x <0 ist |x+1|=x+1 und |1.5x|=-1.5x.
Zu lösen ist also nun
[mm] x+1\le [/mm] -1.5x
<==>
[mm] 2.5x\le [/mm] -1
<==>
[mm] x\le [/mm] -0.4
Ergebnis:
für die x, für welche gleichzeitig [mm] -1\le [/mm] x <0 und [mm] x\le [/mm] -0.4 gilt, ist die Gleichung gelöst.
Das sind die x mit [mm] -1\le x\le [/mm] -4.
Damit haben wir das zweite Teilintervall.
Untersuche nun in der gleichen Manier den verbleibenden Bereich.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:39 Mi 26.03.2014 | | Autor: | highlandgold |
Du sollst diese Frage nun beantworten für f(x)=|x+1| und g(x)=|1.5x|.
Diese beiden Funktionen bergen durch den Betrag eine Komplikation in sich:
sie sind nicht aus einem Guß, sondern jede der beiden Funktionen besteht aus zwei Abschnitten.
Bei einem Blick auf die Graphen wird das deutlich.
Es ist
$ [mm] |x+1|=\begin{cases} -(x+1), & \mbox{für } x<-1 \\ x+1, & \mbox{für } x\ge 1 \end{cases} [/mm] $ --> warum x $ [mm] \ge [/mm] $1 und nicht x $ [mm] \ge [/mm] $-1????
und
$ [mm] |1.5x|=\begin{cases} -1.5x, & \mbox{für } x<0 \\ 1.5x, & \mbox{für } x\ge 0 \end{cases}. [/mm] $
Verstanden?
Markiere Dir mal auf der x-Achse die bedeutungsvollen Stellen x=-1, x=0, x=1.
Sie unterteilen die Achse in 4 Bereiche, die wir getrennt untersuchen werden:
1. x<-1
2. $ [mm] -1\le [/mm] $ x <0
3. $ [mm] 0\le [/mm] $ x <1
4. $ [mm] 1\le [/mm] $ x
Nein das versteh ich nicht !
3. $ [mm] 0\le [/mm] $ x <1
4. $ [mm] 1\le [/mm] $ x --> soll im dritten und vierten fall nicht -1 für 1 stehen??
von wo haben sie die +1??
Verstanden?
Wir beginnen mit
1. x<-1.
Zu untersuchen ist für diese x-Werte
$ [mm] |x+1|\le|1.5x| [/mm] $
Schau nun auf die abschnittweise Definition für die beiden Funktionen.
Für x<-1 ist |x+1|=-(x+1) und |1.5x|=-1.5x.
Verstanden?
Also müssen wir lösen
$ [mm] -(x+1)\le [/mm] $ -1.5x
<==>
$ [mm] x+1\ge [/mm] $ 1.5x
<==>
$ [mm] 1\ge [/mm] $ 0.5 x
<==>
$ [mm] 2\ge [/mm] $ x.
Ergebnis: für die Zahlen x, für welche gleichzeitig x<-1 und $ [mm] x\le [/mm] $ 2 gilt, ist die Gleichung gelöst.
Das sind die x mit x<-1,
und damit haben wir das erste Teilintervall gefunden, in welchem die Gleichung gilt.
Verstanden?
Dann geht es weiter mit
2. $ [mm] -1\le [/mm] $ x <0
Schau nun auf die abschnittweise Definition für die beiden Funktionen.
Für $ [mm] -1\le [/mm] $ x <0 ist |x+1|=x+1 und |1.5x|=-1.5x.
Zu lösen ist also nun
$ [mm] x+1\le [/mm] $ -1.5x
<==>
$ [mm] 2.5x\le [/mm] $ -1
<==>
$ [mm] x\le [/mm] $ -0.4
Ergebnis:
für die x, für welche gleichzeitig $ [mm] -1\le [/mm] $ x <0 und $ [mm] x\le [/mm] $ -0.4 gilt, ist die Gleichung gelöst.
Das sond die x mit $ [mm] -1\le x\le [/mm] $ -4.
Damit haben wir das zweite Teilintervall.
Untersuche nun in der gleichen Manier die verbleibenden beiden Bereiche.
Im dritten Bereich wirst Du herausfinden, daß es keine Lösung gibt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo highlandgold!
> Es ist
> [mm]|x+1|=\begin{cases} -(x+1), & \mbox{für } x<-1 \\ x+1, & \mbox{für } x\ge 1 \end{cases}[/mm]
> --> warum x [mm]\ge [/mm]1 und nicht x [mm]\ge [/mm]-1????
Du hast Recht: hier hat sich Angela vertippt: das muss $x \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \red{-}1$ [/mm] lauten.
Der Rest ist unheimlich schwer nachzuvollziehen bzw. zu korrigieren, weil in keinster Weise ersichtlich ist, was noch Passagen von Angela sind und wo Deine (neuen) Anmerkungen und Fragen sind.
Warum benutzt Du nicht die Zitierfunktion, wo das dann auch entsprechend markiert ist?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Für x<-1 ist |x+1|=-(x+1) und |1.5x|=-1.5x.
$ [mm] -(x+1)\le [/mm] $ -1.5x
<==>
$ [mm] x+1\ge [/mm] $ 1.5x
<==>
$ [mm] 1\ge [/mm] $ 0.5 x
<==>
$ [mm] 2\ge [/mm] $ x.
also das ergebnis dieses Teilintervalls muss innerhalb der bedinung liegen - > dann ist es eine Lösung! oder?
weiters muss ich diesen teibereich in intervalle angeben ,was mir allerdings noch probleme bereitet!
geht diese intervall von ]-unendlich ,2]??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Do 27.03.2014 | | Autor: | leduart |
HALLO
Wenn x<2 UND x<-1 sein soll dann MUSS x <-1 sein!
duu scheinst wirklich post nicht zu lesen bzw. nur zu überfliegen. Ich hatte dir die intervall doch hingeschrieben. alle werte zwischen [mm] -\infty [/mm] und -1 erfüllen die Ungleichung, als Intervall geschrieben [mm] (-\infty,-1] [/mm] oder als Ungleichung [mm] -\infty
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:19 Do 27.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> HALLO
> Wenn x<2 UND x<-1 sein soll dann MUSS x <-1 sein!
ich ergänze das mal:
$x < [mm] 2\,$ [/mm] und $x < -1$
[mm] $\iff$ [/mm] $x < [mm] -1\,.$
[/mm]
Allgemein:
$x < [mm] a\,$ [/mm] und $x < [mm] b\,$
[/mm]
[mm] $\iff$ $x\,$ $<\,$ $\min\{a,b\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
hallo,
danke erstmal für die antwort!
ich hab jetzt die fallunterscheidungen gemacht und das ergebnis lautet:
$ [mm] x\le-0,4 [/mm] $ und $ [mm] x\ge2 [/mm] $ --> womit ich allerdings noch probleme habe ist wie man auf das ergebnis kommt!!
Bedingungen:
x+1 $ [mm] \ge [/mm] $0
x $ [mm] \ge [/mm] $-1 und
3x/2 $ [mm] \ge [/mm] $0
x $ [mm] \ge [/mm] $0
Ergebnis der Betragsungleichung:
x $ [mm] \ge [/mm] $2
also die vorraussetzungen werden erfüllt wenn das ergebnis in diesem Teilintervall (x $ [mm] \ge [/mm] $-1 und x $ [mm] \ge [/mm] $0 ) liegt ?!
also die bedingungen und das ergebnis könnte man auch so darstellen x $ [mm] \ge [/mm] $-1 geht von [-1,+unendlich[ und x $ [mm] \ge [/mm] $0 geht von [0,+unendlich[ und das ergebnis x $ [mm] \ge [/mm] $2 geht von [2,+unendlich[ ?!
wäre jetzt eine bedingung x<-1 so würde diese vorraussetzung nicht erfüllt werden da das ergebnis x $ [mm] \ge [/mm] $2 ,nicht einmal x<-1 sein kann und einmal
x $ [mm] \ge [/mm] $2 sein kann ??
sind meine aussagen korrekt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 26.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hallo,
>
> danke erstmal für die antwort!
>
> ich hab jetzt die fallunterscheidungen gemacht und das
> ergebnis lautet:
>
> [mm]x\le-0,4[/mm] und [mm]x\ge2[/mm] --> womit ich allerdings noch
> probleme habe ist wie man auf das ergebnis kommt!!
>
>
>
> Bedingungen:
> x+1 [mm]\ge [/mm]0
> x [mm]\ge [/mm]-1 und
>
> 3x/2 [mm]\ge [/mm]0
> x [mm]\ge [/mm]0
>
> Ergebnis der Betragsungleichung:
>
> x [mm]\ge [/mm]2
> also die vorraussetzungen werden erfüllt wenn das ergebnis
> in diesem Teilintervall (x [mm]\ge [/mm]-1 und x [mm]\ge [/mm]0 ) liegt ?!
Nein, das Ergebnis gilt nur wenn beide Bedingungen erfüllt sind, also x>0 und das ist für x >2 ja erfüööt.
für x<0 x>-1 hat du [mm] x+1\le [/mm] -3/2*x daraus [mm] x\le [/mm] -0,4 d.h. zusammen mit x>-1<0
hast du [mm] -1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] -0.4
dann bleibt x<-1
[mm] -x-1\le [/mm] -3/2*x daraus [mm] x\le [/mm] 2 zusammen mit x<-1 also alle x [mm] \le-1
[/mm]
also hast du insgesamt die 3 Lösungsintervalle [mm] (-\infty,-1] [/mm] [-0.4,0] und [mm] [2,\infty)
[/mm]
> also die bedingungen und das ergebnis könnte man auch so
> darstellen x [mm]\ge [/mm]-1 geht von [-1,+unendlich[ und x [mm]\ge [/mm]0
> geht von [0,+unendlich[ und das ergebnis x [mm]\ge [/mm]2 geht von
> [2,+unendlich[ ?!
nein du solltest auch mal ausprobieren, was passiert, wenn duz.B x=-0.5 einsetzt!
>
> wäre jetzt eine bedingung x<-1 so würde diese
> vorraussetzung nicht erfüllt werden da das ergebnis x [mm]\ge [/mm]2
> ,nicht einmal x<-1 sein kann und einmal
> x [mm]\ge [/mm]2 sein kann ??
doch wenn es <-1 ist ist es auch <2
du kannst es ausprobieren, etwa indem du x=-8 einsetzt dann hast du 7<12
>
> sind meine aussagen korrekt?
leider nein.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
> hallo,
>
> danke erstmal für die antwort!
>
> ich hab jetzt die fallunterscheidungen gemacht und das
> ergebnis lautet:
>
> [mm]x\le-0,4[/mm] und [mm]x\ge2[/mm] --> womit ich allerdings noch
> probleme habe ist wie man auf das ergebnis kommt!!
Hallo,
sag' mal, hattest Du eigentlich meinen Beitrag gründlich durchgearbeitet?
Mit Stift und Papier? Satz für Satz?
Dafür war er eigentlich gedacht.
Zum langsamen Durcharbeiten von A bis Z.
Das dauert länger als 15 min.
Ich bin mir sicher, daß Du wirklich verstehen möchtest.
Sonst würdest Du Dich ja nicht schon wieder mit der Aufgabe beschäftigen.
Deshalb der Rat:
Du mußt die Antworten, die Du bekommst, genauer lesen.
Nicht grob überfliegen, sondern studieren, Wort für Wort.
Satz für Satz nicht nur angucken, sondern mitdenken, mitschreiben, mitrechnen.
Bei Problemen konkret Bezug nehmen auf das Gesagte.
Schildern, bis wohin Du folgen konntest ("Ich habe verstanden, daß ...") und genau formulieren, weshalb Du an welcher Stelle hängst.
LG Angela
>
>
>
> Bedingungen:
> x+1 [mm]\ge [/mm]0
> x [mm]\ge [/mm]-1 und
>
> 3x/2 [mm]\ge [/mm]0
> x [mm]\ge [/mm]0
>
> Ergebnis der Betragsungleichung:
>
> x [mm]\ge [/mm]2
>
> also die vorraussetzungen werden erfüllt wenn das ergebnis
> in diesem Teilintervall (x [mm]\ge [/mm]-1 und x [mm]\ge [/mm]0 ) liegt ?!
>
> also die bedingungen und das ergebnis könnte man auch so
> darstellen x [mm]\ge [/mm]-1 geht von [-1,+unendlich[ und x [mm]\ge [/mm]0
> geht von [0,+unendlich[ und das ergebnis x [mm]\ge [/mm]2 geht von
> [2,+unendlich[ ?!
>
> wäre jetzt eine bedingung x<-1 so würde diese
> vorraussetzung nicht erfüllt werden da das ergebnis x [mm]\ge [/mm]2
> ,nicht einmal x<-1 sein kann und einmal
> x [mm]\ge [/mm]2 sein kann ??
>
> sind meine aussagen korrekt?
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:32 Di 18.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Ohne Fallunterscheidung:
$|x+1| [mm] \le \bruch{3}{2}|x|$ \gdw (x+1)^2 \le \bruch{9}{4}x^2 \gdw [/mm] ..... [mm] \gdw x^2-\bruch{8}{5}x-\bruch{4}{5} \ge [/mm] 0.
Nun ist [mm] x^2-\bruch{8}{5}x-\bruch{4}{5}=(x-2)(x+\bruch{2}{5})
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Di 18.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Ohne Fallunterscheidung:
>
> [mm]|x+1| \le \bruch{3}{2}|x|[/mm] [mm]\gdw (x+1)^2 \le \bruch{9}{4}x^2 \gdw[/mm]
> ..... [mm]\gdw x^2-\bruch{8}{5}x-\bruch{4}{5} \ge[/mm] 0.
>
> Nun ist
> [mm]x^2-\bruch{8}{5}x-\bruch{4}{5}=(x-2)(x+\bruch{2}{5})[/mm]
Dann braucht man jetzt Fallunterscheidung.
Nebenher: Man kann auch
[mm] $x^2-\frac{8}{5}x-\frac{4}{5} \ge [/mm] 0$
[mm] $\iff$ $(x-\tfrac{4}{5})^2-\tfrac{36}{25}\ge [/mm] 0$
benutzen - das hat den *Vorteil*, dass man sich daran erinnert, wie man
nochmal "Parabeln zeichnet". (Okay, den Nachteil, dass man aber nochmal
die Nullstellen berechnen muss.)
Wobei man auch bei Deinem Weg sagen kann:
Die Funktion
$x [mm] \mapsto x^2-\frac{8}{5}x-\frac{4}{5}=(x-2)(x+\tfrac{2}{5})$
[/mm]
hat genau die Nullstellen [mm] $x=2\,$ [/mm] bzw. [mm] $x=-2/5\,,$ [/mm] und da der Graph dieser
Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist, deren Scheitelpunkt zwischen
den Nullstellen liegt...
Aber zurück zu oben: Man könnte auch so weitermachen
[mm] $(x-\tfrac{4}{5})^2-\tfrac{36}{25}\ge [/mm] 0$
[mm] $\iff$ $|x-\tfrac{4}{5}|^2 \ge \tfrac{6^2}{5^2}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $|x-\tfrac{4}{5}| \ge \tfrac{6}{5}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $|x-\tfrac{4}{5}|-\tfrac{6}{5} \ge 0\,.$
[/mm]
Das ist jetzt auch eine relativ schöne Ungleichung - die man sowohl
algebraisch *schnell* behandeln kann, als auch wiederum *geometrisch*
gut deuten kann.
(Man überlegt sich, wie der Graph von
$x [mm] \mapsto |x-\tfrac{4}{5}|$
[/mm]
im Vergleich zu
$x [mm] \mapsto [/mm] |x|$
aussieht - und danach, wie der Graph von
$x [mm] \mapsto |x-\tfrac{4}{5}|-\tfrac{6}{5}$
[/mm]
im Vergleich mit
$x [mm] \mapsto |x-\tfrac{4}{5}|$
[/mm]
aussieht...
Und hier hat man ja sowas wie "zwei stückweise Geraden"...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
