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hi
hab noch eine schöne aufgabe zum knobbeln gefunden, die mir den verstand raubt!
beweisen sie für a, b aus N gilt:
(*) a+b < ggt (a,b) + kgv (a,b)
wann gilt in (*) das gleichheitszeichen, d.h. wann gilt
a+b = ggt (a,b) + kgv (a,b)
irgendwie tue ich mich sehr schwer mit dem beweis, bitte hilft mir!
danke schonmal
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Hallo,
es gilt ja
[mm]kgv(a,b)\; = \;\frac{{ab}}{{ggt(a,b)}}[/mm]
mit
[mm]\alpha : = \;ggt(a,b)[/mm]
Dann wird daraus:
[mm]a + b \le \;\alpha \; + \;\frac{{ab}}{\alpha }[/mm]
Dies ist eine Gleichung in [mm]\alpha[/mm], die Du dann
auflösen kannst.
Hieraus ergeben sich Bedingungen die an [mm]\alpha[/mm] gestellt
werden müssen.
Dann läßt sich auch bestimmen, wann das Gleichheitszeichen gilt.
Gruss
MathePower
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Hallo,
ich habe folgende Beweisidee:
Untersuche den Ausdruck [mm]ggt(a,b)\; + \;kgv(a,b)[/mm] auf Extremwerte.
Extremwerte liegen dann, vor ggt(a,b) = 1 oder wenn ggt(a,b)=min(a,b) ist.
Treffe dann eine Aussage über die Extremwerte und beweise diese.
[mm]a + b \le \;1 + a \cdot b\;\forall \;a,b \ge 1[/mm].
Somit ist dann die Ungleichung bewiesen.
Gruss
MathePower
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