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beweis disjunkte mengen: korrektur
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:39 Di 14/04/2015
Author: forestdumb

Aufgabe
Gegeben seien Mengen [mm] $\Omega \neq \emptyset$ [/mm] und [mm] $A_{n} \subset \Omega$ [/mm] für $ n [mm] \in \IN$. [/mm] Weiter seien die mengen [mm] $B_{n}, n\in \IN [/mm] $definiert durch

[mm] $B_1 :=A_1 [/mm] $ und [mm] $B_n [/mm] := [mm] A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i [/mm] $ für [mm] $n\geq [/mm] 2 $

Zeigen sie .

$(i)$ Die Mengen  [mm] $B_n [/mm] , n [mm] \in \IN$ [/mm] sind paarweise disjunkt.

$(ii)$ Es gilt$ [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{\infty} B_i$ [/mm]

(Hierbei wir [mm] \sum [/mm] als Symbol für die Vereinigung paarweise disjunkter mengen verwendet)

Ich nehme an es soll gezeigt werden

$(i) [mm] \gdw [/mm] (ii)$

also na dann

" $(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)$"

Die Mengen  [mm] $B_n [/mm] , n [mm] \in \IN$ [/mm] sind paarweise disjunkt. Das impliziert ja,dass  [mm] $B_{n}\cap B_{n-1} [/mm] = [mm] \emptyset \Rightarrow B_{n}\cup B_{n-1} =B_{n}+ B_{n-1}$. [/mm]  jetzt komm ich irgendwie nicht weiter :/

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
beweis disjunkte mengen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:59 Di 14/04/2015
Author: fred97


> Gegeben seien Mengen [mm]\Omega \neq \emptyset[/mm] und [mm]A_{n} \subset \Omega[/mm]
> für [mm]n \in \IN[/mm]. Weiter seien die mengen [mm]B_{n}, n\in \IN [/mm]definiert
> durch
>
> [mm]B_1 :=A_1[/mm] und [mm]B_n := A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i[/mm]
> für [mm]n\geq 2[/mm]
>  
> Zeigen sie .
>  
> [mm](i)[/mm] Die Mengen  [mm]B_n , n \in \IN[/mm] sind paarweise disjunkt.
>  
> [mm](ii)[/mm] Es gilt[mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \sum_{i=1}^{\infty} B_i[/mm]
>  
> (Hierbei wir [mm]\sum[/mm] als Symbol für die Vereinigung paarweise
> disjunkter mengen verwendet)
>  Ich nehme an es soll gezeigt werden
>  
> [mm](i) \gdw (ii)[/mm]

Nein !

Es soll das gezeigt werden, was dasteht:

In (i) sollst Du zeigen [mm] B_i \cap B_j= \emptyset [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.

In (ii) sollst Du zeigen:

     $ [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i [/mm] $


FRED


>  
> also na dann
>  
> " [mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm]"
>  
> Die Mengen  [mm]B_n , n \in \IN[/mm] sind paarweise disjunkt. Das
> impliziert ja,dass  [mm]B_{n}\cap B_{n-1} = \emptyset \Rightarrow B_{n}\cup B_{n-1} =B_{n}+ B_{n-1}[/mm].
>  jetzt komm ich irgendwie nicht weiter :/
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
beweis disjunkte mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:52 Di 14/04/2015
Author: forestdumb

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

hi

danke fred für dein feedback

ich hab mal nen beweis ausgearbeitet für die

i)

$x \in ( B_{n} \cap B_{n-1})$

$= x\in (A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i  \cap A_{n-1} \setminus \bigcup_{i=2}^{n-2} A_i )$

$= \{x \in A_n | x \not\in  \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \} \wedge \{x \in A_{n-1} | x \not\in  \bigcup_{i=2}^{n-2} A_i \} $

$\Rightarrow x \in A_n  \cap x \in A_{n-1} = x$

da aber laut $= \{x \in A_n | x \not\in  \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \} x \not \in  A_{n-1}$ liegt und in dem anderen Vereinigungspartner ${x \in A_{n-1}$ liegt ist das ein widerspruch und deshalb müssen die beiden mengen gleich sein damit etwas im schnitt liegt sonst ist er disjoint.

Bezug
                        
Bezug
beweis disjunkte mengen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:01 Di 14/04/2015
Author: Marcel

Hallo,

> hi
>  
> danke fred für dein feedback
>  
> ich hab mal nen beweis ausgearbeitet für die
>
> i)
>  
> [mm]x \in ( B_{n} \cap B_{n-1})[/mm]
>  
> [mm]= x\in (A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \cap A_{n-1} \setminus \bigcup_{i=2}^{n-2} A_i )[/mm]

das =-Zeichen macht hier doch keinen Sinn. Du willst hier sicher [mm] $\iff$ [/mm] (oder
wenigstens ein [mm] $\Longrightarrow$) [/mm] schreiben!
Und warum unter dem zweiten [mm] $\bigcup$ [/mm] nun [mm] $i=2\,$ [/mm] steht, sehe ich auch nicht.
Da gehört [mm] $i=1\,$ [/mm] hin,  nur die obere Grenze ist anders!
Außerdem solltest Du besser noch Klammern setzen:

    [mm] $x\in (\red{\left(\black{A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i}\right)} \cap \red{\left(\black{A_{n-1} \setminus \bigcup_{i=2}^{n-2} A_i}\right)} [/mm] )$

!

> [mm]= \{x \in A_n | x \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \} \wedge \{x \in A_{n-1} | x \not\in \bigcup_{i=2}^{n-2} A_i \}[/mm]

Na, auch hier: Es folgt

(*)    [mm] $(x\in A_n \wedge [/mm] x [mm] \notin \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i)$ $\wedge$ [/mm] ($x [mm] \in A_{n-1} \wedge [/mm] x [mm] \notin \bigcup_{i=1}^{n-2} A_i$) [/mm]

> [mm]\Rightarrow x \in A_n \cap x \in A_{n-1} = x[/mm]
>  
> da aber laut [mm]= \{x \in A_n | x \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \} x \not \in A_{n-1}[/mm]
> liegt und in dem anderen Vereinigungspartner [mm]{x \in A_{n-1}[/mm]
> liegt ist das ein widerspruch und deshalb müssen die
> beiden mengen gleich sein damit etwas im schnitt liegt
> sonst ist er disjoint.  

Das Wort heißt disjunkt - und was Du da am Ende machst, erschließt sich
mir nicht wirklich.

Springen wir zurück zu (*): Es gilt nun

(**)    $x [mm] \in A_n$ [/mm] und $x [mm] \notin \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$ [/mm] und $x [mm] \in A_{n-1}$ [/mm] und $x [mm] \notin \bigcup_{i=1}^{n-2}A_i$ [/mm]

Aus $x [mm] \notin \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i$ [/mm] folgt aber schon

    $x [mm] \notin A_k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \{1,\ldots,n-1\}\,.$ [/mm]

Insbesondere ist damit $x [mm] \notin A_{n-1}\,,$ [/mm] was im Widerspruch dazu steht, dass
gemäß (**) doch $x [mm] \in A_{n-1}$ [/mm] sein soll (anders gesagt: (**) impliziert

    $x [mm] \notin A_{n-1}$ [/mm] und $x [mm] \in A_{n-1}\,,$ [/mm]
[oder nochmal anders gesagt: $x [mm] \in ({A_{n-1}}^C \cap A_{n-1})=\varnothing$]) [/mm]

also einen Widerspruch!Daher kann es kein $x [mm] \in B_{n} \cap B_{n-1}$ [/mm] geben!

Bei der Aufgabe ii)

    [mm] $\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\sum_{k=1}^\infty B_k$ [/mm]

bedeutet nichts anderes, als dass die folgenden Aussagen gelten:

I) Es ist [mm] $\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\bigcup_{k=1}^\infty B_k$ [/mm]

II) Die [mm] $B_k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$) [/mm] sind alle paarweise disjunkt (das hast Du gerade
gezeigt)
.
(Edit: Das hast Du doch noch nicht gezeigt, aber der Beweis dazu
geht analog zu dem, was Du gerade gezeigt hast: Sind $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \neq m\,,$ [/mm]
so kannst Du o.E. $n > [mm] m\,$ [/mm] annehmen. Für (irgend-)ein $x [mm] \in B_n \cap B_m$ [/mm] folgt
dann der Widerspruch, dass sowohl $x [mm] \in A_m$ [/mm] als auch $x [mm] \notin A_m$ [/mm] gelten muss!)


P.S. Achte bitte auf die Unterschiede zwischen Aussagen und Mengen (bzw.
Aussagen innerhalb von Mengen). Z.B.

    [mm] $\{x \in A_n | x \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i \} \wedge \{x \in A_{n-1} | x \not\in \bigcup_{i=1}^{n-2} A_i \}$ [/mm]

Dort steht "die Menge aller [mm] $x\,$ [/mm] aus [mm] $A_n$, [/mm] so, dass $x [mm] \not\in \bigcup_{i=1}^{n-1} A_i [/mm] $
wird geschnitten mit der Menge aller x (die könnten jetzt auch y heißen) aus
[mm] $A_{n-1}$ [/mm] mit $x [mm] \not\in \bigcup_{i=1}^{n-2} A_i [/mm] $".

Sowas ist schon schlecht, wenn doch vorher das x fest war. Das wäre in
etwa so, wie wenn Du schreiben würdest

    [mm] $\sqrt{2}:=x \in \{x \in \IR \mid x > 0\}$ [/mm]

Also notationsmäßig herrscht bei Dir durchaus einiges an Durcheinander,
was Du mal sortieren solltest!

P.P.S. Zur Erinnerung: Für Teil I) der Aussage ii):
Zwei Mengen [mm] $M_1,M_2$ [/mm] sind genau dann, wenn jede der beiden Teilmengenbeziehungen

    [mm] $M_1 \;\subseteq\; M_2$ [/mm]

und

    [mm] $M_2 \;\subseteq\; M_1$ [/mm]

gilt.
Und da offensichtlich durchweg [mm] $B_n \;\subseteq\; A_n\,$ [/mm] gilt, ist auch eine der beiden
Teilmengenbeziehungen, die man für I) gebrauchen kann, trivial. Welche?

Gruß,
  Marcel

Bezug
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