beweis kompakte teilmenge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Do 21.07.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | beweisen oder widerlegen sie
für jedes [mm] x\in\IR^n, n\in\IN, [/mm] ist {x} eine kompakte teilmenge von [mm] \IR^n [/mm] |
definition aus wikipedia:
M ist kompakt, das heißt jede offene Überdeckung von M hat eine endliche Teilüberdeckung.
Jede Folge in der Menge M hat eine in M konvergente Teilfolge (also mindestens einen Häufungspunkt).
Die Menge M ist abgeschlossen und beschränkt.
bei beweisaufgaben weiß ich nie wie ich anfangen soll, deshalb ist es hier genau so........ bekomme ich welche tipps wie ich hier rangehen soll?
danke
ki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Do 21.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
naja, definieren wir doch mal als eine offene Menge [mm] B_{\epsilon}(z):= [/mm] {y [mm] \in \IR [/mm] | d(y,z)< [mm] \epsilon} [/mm] mit zum beispiel der euklidischen metrik d. Die Menge [mm] B_{\epsilon}(z) [/mm] ist dann also die n-dimensionale Kugel um einen punkt z mit Radius [mm] \epsilon. [/mm]
Frage: wie viele solcher beliebig großen (bzw. kleinen) Mengen brauchst du denn um {x} zu überdecken?
(abgeschlossen kann man sich auch leicht überlegen. denn alle folgen in der Menge {x} sind konstanz und somit auch konvergenz in der menge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 21.07.2011 | | Autor: | kioto |
> naja, definieren wir doch mal als eine offene Menge
> [mm]B_{\epsilon}(z):=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{y [mm]\in \IR[/mm] | d(y,z)< [mm]\epsilon}[/mm] mit zum
> beispiel der euklidischen metrik d. Die Menge
> [mm]B_{\epsilon}(z)[/mm] ist dann also die n-dimensionale Kugel um
> einen punkt z mit Radius [mm]\epsilon.[/mm]
>
> Frage: wie viele solcher beliebig großen (bzw. kleinen)
> Mengen brauchst du denn um {x} zu überdecken?
>
weil [mm] \IR^n [/mm] hausdorffisch ist, ist x abgeschlossen, und [mm] B_{\epsilon}(z) [/mm] bildet eine offene überdeckung über [mm] \IR, [/mm] also dann auch eine überdeckung mit endlich vielen mengen für x?
> (abgeschlossen kann man sich auch leicht überlegen. denn
> alle folgen in der Menge {x} sind konstanz und somit auch
> konvergenz in der menge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Do 21.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
sehe gerade, dass ich bei der Menge [mm] B_{\epsilon}(z) [/mm] was vergessen hab. es muss heißen [mm] B_{\epsilon}(z)= [/mm] {y [mm] \in \IR^n [/mm] | [mm] d(y,z)<\epsilon [/mm] }
[mm] B_{\epsilon}(z) [/mm] bilden eine offene überdeckung für den [mm] \IR^n, [/mm] wenn du die z passend wählst, aber das braucht man nicht. man muss ja nur {x} überdecken.
und das ist ganz einfach. wie viele dieser mengen [mm] B_{\epsilon}(z) [/mm] brauchst du denn, wenn du z=x setzt?
genau eine. und das sind endlich viele
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Do 21.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> > naja, definieren wir doch mal als eine offene Menge
> > [mm]B_{\epsilon}(z):=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> {y [mm]\in \IR[/mm] | d(y,z)< [mm]\epsilon}[/mm] mit zum
> > beispiel der euklidischen metrik d. Die Menge
> > [mm]B_{\epsilon}(z)[/mm] ist dann also die n-dimensionale Kugel um
> > einen punkt z mit Radius [mm]\epsilon.[/mm]
> >
> > Frage: wie viele solcher beliebig großen (bzw. kleinen)
> > Mengen brauchst du denn um {x} zu überdecken?
> >
> weil [mm]\IR^n[/mm] hausdorffisch ist, ist x abgeschlossen, und
> [mm]B_{\epsilon}(z)[/mm] bildet eine offene überdeckung über [mm]\IR,[/mm]
> also dann auch eine überdeckung mit endlich vielen mengen
> für x?
Ist das so schwer ?
Sei [mm] \mathcal{G} [/mm] ein System offener Teilmengen mit:
[mm] $\{x\} \subseteq \bigcup_{G \in \mathcal{G}}^{}G$,
[/mm]
Dann gibt es doch ein $G [mm] \in \mathcal{G}$ [/mm] mit $x [mm] \in [/mm] G$. Findest Du nun endlich viele Mengen aus [mm] \mathcal{G}, [/mm] die [mm] \{x\} [/mm] überdecken ? Wenn ja: welche ?
FRED
>
> > (abgeschlossen kann man sich auch leicht überlegen. denn
> > alle folgen in der Menge {x} sind konstanz und somit auch
> > konvergenz in der menge
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Fr 22.07.2011 | | Autor: | kioto |
> > > naja, definieren wir doch mal als eine offene Menge
> > > [mm]B_{\epsilon}(z):=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > {y [mm]\in \IR[/mm] | d(y,z)< [mm]\epsilon}[/mm] mit zum
> > > beispiel der euklidischen metrik d. Die Menge
> > > [mm]B_{\epsilon}(z)[/mm] ist dann also die n-dimensionale Kugel um
> > > einen punkt z mit Radius [mm]\epsilon.[/mm]
> > >
> > > Frage: wie viele solcher beliebig großen (bzw. kleinen)
> > > Mengen brauchst du denn um {x} zu überdecken?
> > >
> > weil [mm]\IR^n[/mm] hausdorffisch ist, ist x abgeschlossen, und
> > [mm]B_{\epsilon}(z)[/mm] bildet eine offene überdeckung über [mm]\IR,[/mm]
> > also dann auch eine überdeckung mit endlich vielen mengen
> > für x?
>
> Ist das so schwer ?
>
> Sei [mm]\mathcal{G}[/mm] ein System offener Teilmengen mit:
>
> [mm]\{x\} \subseteq \bigcup_{G \in \mathcal{G}}^{}G[/mm],
>
> Dann gibt es doch ein [mm]G \in \mathcal{G}[/mm] mit [mm]x \in G[/mm].
> Findest Du nun endlich viele Mengen aus [mm]\mathcal{G},[/mm] die
> [mm]\{x\}[/mm] überdecken ? Wenn ja: welche ?
danke
ist die menge einfach {G}?
>
> FRED
> >
> > > (abgeschlossen kann man sich auch leicht überlegen. denn
> > > alle folgen in der Menge {x} sind konstanz und somit auch
> > > konvergenz in der menge
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > naja, definieren wir doch mal als eine offene Menge
> > > > [mm]B_{\epsilon}(z):=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > {y [mm]\in \IR[/mm] | d(y,z)< [mm]\epsilon}[/mm] mit zum
> > > > beispiel der euklidischen metrik d. Die Menge
> > > > [mm]B_{\epsilon}(z)[/mm] ist dann also die n-dimensionale Kugel um
> > > > einen punkt z mit Radius [mm]\epsilon.[/mm]
> > > >
> > > > Frage: wie viele solcher beliebig großen (bzw. kleinen)
> > > > Mengen brauchst du denn um {x} zu überdecken?
> > > >
> > > weil [mm]\IR^n[/mm] hausdorffisch ist, ist x abgeschlossen, und
> > > [mm]B_{\epsilon}(z)[/mm] bildet eine offene überdeckung über [mm]\IR,[/mm]
> > > also dann auch eine überdeckung mit endlich vielen mengen
> > > für x?
> >
> > Ist das so schwer ?
> >
> > Sei [mm]\mathcal{G}[/mm] ein System offener Teilmengen mit:
> >
> > [mm]\{x\} \subseteq \bigcup_{G \in \mathcal{G}}^{}G[/mm],
> >
> > Dann gibt es doch ein [mm]G \in \mathcal{G}[/mm] mit [mm]x \in G[/mm].
> > Findest Du nun endlich viele Mengen aus [mm]\mathcal{G},[/mm] die
> > [mm]\{x\}[/mm] überdecken ? Wenn ja: welche ?
> danke
> ist die menge einfach {G}?
nein. Da unterliegst Du einem Fehlschluss, den man eigentlich zu vermeiden lernt, sobald man sich mit (naiver) Mengenlehre beschäftigt:
Denn [mm] $\{G\}$ [/mm] hat als einziges Element gerade selbst die Menge [mm] $G\,.$
[/mm]
Aber die gesuchte Menge ist gerade [mm] $G\,.$ [/mm] (Beachte: [mm] $\{G\} \not=G\,.$)
[/mm]
Denn:
Sei [mm] $\mathcal{G}=\{G_i: i \in I\}$ ($I\,$ [/mm] ist irgendeine Indexmenge, also evtl. auch überabzählbar) irgendeine offene Überdeckung von [mm] $\{x\}\,.$
[/mm]
Das bedeutet: Alle [mm] $G_i$ [/mm] ($i [mm] \in [/mm] I$) sind offene Mengen, liegen also in der Topologie [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] des betrachteten Raumes, mit dem man [mm] $\IR^n$ [/mm] versieht (es steht nirgendswo, dass [mm] $\IR^n$ [/mm] euklidisch sein soll oder sonstwas; es soll aber eine Topologie [mm] $\mathcal{T}$ [/mm] so geben, dass [mm] $(\IR^n,\mathcal{T})$ [/mm] ein topologischer Raum ist); und ferner muss dann gelten (da offene ÜBERDECKUNG von [mm] $\{x\}$):
[/mm]
[mm] $$\{x\} \subseteq \bigcup_{i \in I} G_i\,.$$
[/mm]
Also existiert ein [mm] $i_1 \in [/mm] I$ mit $x [mm] \in G_{i_1}=:G\,.$ [/mm] Aber [mm] $\mathcal{G}_0:=\{G\}$ [/mm] ist somit eine endliche Teilüberdeckung von [mm] $\mathcal{G}\,$ [/mm] bzgl. der zu untersuchenden Menge [mm] $\{x\}\,.$
[/mm]
P.S.:
Wenn Du oben allerdings nur nicht "richtig" auf Freds Frage geantwortet hattest und eigentlich NICHT
"Ist die Menge, die [mm] $\{x\}$ [/mm] überdeckt, nicht [mm] $\{G\}$?"
[/mm]
SONDERN
"Ist dann nicht [mm] $\{G\}$ [/mm] eine endliche Teilüberdeckung von [mm] $\mathcal{G}\,$ [/mm] bzgl. der zu überdeckenden Menge [mm] $\{x\}$ [/mm] ?"
meintest, so wäre das (letztstehende) zu bejahen. Dann achte aber bitte genau(er) auf Deine Wortwahl, dass das, was Du sagst, auch das ausdrückt, was Du meinst.
P.P.S.:
Die Einschränkung auf [mm] $\IR^n$ [/mm] war hier offenbar unnötig. Du siehst eigentlich genauso ein:
In jedem topologischen Raum sind einpunktige Mengen kompakt (und ein wenig allgemeiner sieht man ein, dass auch endliche Mengen dann stets kompakt sind - der Beweis ist nicht (wirklich) (viel) schwerer).
Btw.:
Mit obigem $G$ wäre auch [mm] $\mathcal{G}_1:=\{G,G_{i_2},\ldots,G_{i_m}\}$ [/mm] mit [mm] $m-1\,$ [/mm] sonst irgendwie gewählten Mengen aus [mm] $\{G_i: i \in I\}$ [/mm] eine endliche Teilüberdeckung gewesen:
Denn [mm] $\mathcal{G}_1$ [/mm] enthält dann ja nur [mm] $\le [/mm] m$ offene Teilmengen (also Elemente von [mm] $\mathcal{T}$) [/mm] und es gilt
[mm] $$\{x\} \subseteq [/mm] G [mm] \subseteq [/mm] (G [mm] \cup \bigcup_{k=2}^m G_{i_k})\,\,.$$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Fr 22.07.2011 | | Autor: | kioto |
totale verwirrung....... jeder definiert was anderes..... jetzt muss erst ich mal buchstaben für buchstaben durchkauen
vielen dank marcel! wieder für die unerwartete ausführliche erklärung!
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