beweis stetigkeits sin²x < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 So 20.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Beweisen siedie Steigkeit derfunktion f(x) = [mm] sin^{2}(x) [/mm] an der Stelle [mm] x_0=0. [/mm] |
Hallo!
Ich weiss folgendes:
die definition der Stetigkeit ist ja:
Eine Funktion ist stetig im Punkt [mm] x_0 [/mm] wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta [/mm] >0 gibt, sodass gilt:
[mm] |f(x)-f(x_0)< \varepsilon [/mm] mit [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
somit haben wir folgende situation:
[mm] |sin^{2}(x)-0|< \varepsilon [/mm] mit |x| [mm] <\delta
[/mm]
ich weiss nun leider nicht, wie man das angeht,dass man das so hinbiegt damit das delta bestimmt werden kann.
hat mir jemand da auch allgemeine tips wie man da am besten vorgeht?
gruss
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 So 20.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katja!
> Beweisen siedie Steigkeit derfunktion f(x) = [mm]sin^{2}(x)[/mm] an
> der Stelle [mm]x_0=0.[/mm]
> Hallo!
>
> Ich weiss folgendes:
>
> die definition der Stetigkeit ist ja:
> Eine Funktion ist stetig im Punkt [mm]x_0[/mm] wenn es zu jedem
> [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]\delta[/mm] >0 gibt, sodass gilt:
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)< \varepsilon[/mm] mit [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
>
>
> somit haben wir folgende situation:
>
> [mm]|sin^{2}(x)-0|< \varepsilon[/mm] mit |x| [mm]<\delta[/mm]
>
> ich weiss nun leider nicht, wie man das angeht,dass man das
> so hinbiegt damit das delta bestimmt werden kann.
>
> hat mir jemand da auch allgemeine tips wie man da am besten
> vorgeht?
In diesem Fall hilft es, das Problem zu zerlegen: ich würde davon ausgehen, dass das Produkt stetiger Funktionen stetig ist. Wenn du nachweist, das die Sinusfunktion stetig ist, dann ist das Quadrat der Sinusfunktion auch stetig.
Damit vereinfacht sich die Ungleichung auf
[mm] |\sin x - 0 | < \varepsilon [/mm] oder [mm] |\sin x| < \varepsilon [/mm]
Aus der geometrischen Definition des Sinus ergibt sich unmittelbar, dass für $x>0$ die Ungleichung [mm] $\sin [/mm] x < x$ gilt (das Bogenmaß des WInkel ist immer größer als die Katheten des Dreiecks.) Für $x<0$ wird daraus [mm] $\sin [/mm] x > x$, für $x= 0$ ist [mm] $\sin [/mm] x=0$, zusammen also [mm] $|\sin [/mm] x| [mm] \le [/mm] |x|$.
Wenn also $|x-0| = |x| < [mm] \delta$ [/mm] ist, so ist $|sin [mm] x|\le [/mm] |x| < [mm] \delta$.
[/mm]
Kannst du den Rest der Schlusskette alleine machen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 20.09.2009 | | Autor: | katjap |
da
[mm] \varepsilon [/mm] > |sinx| [mm] \le [/mm] |x| < [mm] \delta [/mm]
muss [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] stimmt das dann so?
damit dies gilt fuer [mm] sin^{2}(x) [/mm]
ist es dann [mm] \delta= \varepsilon^{2} [/mm] oder bleibt es dann beim [mm] \varepsilon?
[/mm]
danke übrigens fuer die sehr ausführliche erklärung, dadurch verstehe ich echt einiges besser!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 So 20.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katja!
> da
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> [mm]\varepsilon[/mm] > |sinx| [mm]\le[/mm] |x| < [mm]\delta[/mm]
> muss [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] stimmt das dann so?
>
> damit dies gilt fuer [mm]sin^{2}(x)[/mm]
> ist es dann [mm]\delta= \varepsilon^{2}[/mm] oder bleibt es dann
> beim [mm]\varepsilon?[/mm]
[mm] $\delta= \varepsilon^{2}$ [/mm] ist schon richtig. Schreib dir die Ungleichungskette genau auf:
Wenn [mm] $|x|<\delta$, [/mm] dann ist
[mm] |\sin^2 x| = |\sin x|^2 < |x|^2 < \delta^2 [/mm]
Damit also [mm] $|\sin^2 x|<\varepsilon$ [/mm] ist, genügt es [mm] $\delta$ [/mm] so zu wählen, dass [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \delta^2 \gdw \delta=\sqrt{\varepsilon}$.
[/mm]
Die Logik der Definition sagt ja, dass [mm] $\varepsilon$ [/mm] gegeben ist, und du ein passendes [mm] $\delta$ [/mm] finden musst. Es ist völlig OK, zunächst einmal anzunehmen, dass es ein [mm] $\delta$ [/mm] gibt und dann rückwärts zu schließen. Für den Nachweis der Stetigkeit muss aber am Ende immer der Schluss vorwärts stehen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 Mo 21.09.2009 | | Autor: | katjap |
danke, nun ist es klar:)
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